Equazioni gravitazionali di Einstein

La relatività generale è nata dallo sforzo eliminare le contraddizioni presenti nella teoria della gravitazione newtoniana.

La prima conseguenza è il crollo del postulato di istantaneità nelle interazioni gravitazionali, anche a distanze infinite. La relatività ristretta pone un modello di spazio-tempo nel quale esiste un limite superiore di velocità, corrispondente alla velocità della luce.

Una seconda constatazione è che la presenza di campi gravitazionali genera accelerazione sui corpi e sui sistemi di riferimento su di essi centrati, se osservati da un sistema solidale con il campo gravitazionale. La presenza di gravità fa perdere ai sistemi ad essa soggetti il carattere di inerzialità. Vale anche la relazione inversa, sistemi accelerati generano localmente e per un osservatore solidale ad essi, una forza di gravità apparente. Se gravità e accelerazione risultano allineate e agenti con pari forma, ma con verso opposto i loro effetti si elidono e il risultato percepito internamente al sistema (senza possibilità di avere informazioni ad esso esterne) è quello di inerzia. La legge gravitazionale deve saper descrivere il moto dei corpi in sistemi in cui è presente un campo gravitazionale o che siano accelerati, ma anche inerziali.

L'universalità delle leggi di Newton-Galileo è garantita solo se espressa in sistemi di riferimento inerziali. Quello che però si ricerca è una universalità assoluta. Aggiungiamo che per logica se non esiste un sistema inerziale privilegiato, non dovrebbe nemmeno esistere una tipologia di sistemi (quelli inerziali) privilegiati. Le leggi della fisica se universali devono valere anche in sistemi di riferimento inerziali, accelerati o soggetti a forze gravitazionali.

Interpretazione geometrica della gravità

Iniziamo la nostra analisi osservando le differenze tra un sistema di coordinate accelerato e un sistema gravitazionale (inerziale nel quale è presente una massa generante un campo gravitazionale). La possibilità di avere un modello descrittivo comune è dato dall'evidenza che i due sistemi possono interagire, sommandosi e annullandosi. Vedasi il sistema accelerato di un’ascensore in caduta libera in un sistema gravitazionale. La gravità reale, nell'ascensore non viene percepita. Poniamo un razzo in accelerazione in un sistema inerziale privo di gravità. All'interno del razzo si percepisce una forza gravitazionale apparente.

Una prima differenza tra i due sistemi che dobbiamo unificare è la misura della massa. Da un sistema accelerato, un corpo in stato inerziale appare accelerato con verso opposto. La forza apparente che pare applicata al corpo è proporzionale alla sua massa inerziale. In un campo gravitazionale, su un corpo in caduta è misurabile una forza che determina la massa peso del corpo. L'unificazione dei modelli descrittivi passa per l'unificazione dei concetti di massa gravitazionale (peso) e massa inerziale (resistenza all'accelerazione) in un'unica proprietà della materia. Non si tratta di un mero allineamento delle rispettive unità di misura, ma di misurare in modo diverso una stessa entità.

Una seconda differenza è come i due sistemi percepiscono le linee di forza gravitazionali (apparenti o reali). In un sistema accelerato (ascensore) le linee di forza apparente sono conservative, parallele tra loro e perpendicolari alla base. In un campo gravitazionale si ha invece una convergenza delle linee verso il suo centro. Queste rispetto a una base risultano non parallele e con inclinazioni diverse. Solo localmente, su spazi ridotti rispetto al campo possiamo trascurare la convergenza ed avere una descrizione fisica nei due sistemi coincidente. Lo spazio descritto è euclideo (piatto) o meglio di Minkowski.

Accostando spazi locali simili ci troviamo in uno spazio aggregato curvo, nel quale le linee di forza sono sempre perpendicolari alla base curva. L'idea di Einstein è di poter descrivere la gravità come fenomeno geometrico. Una particella orbitante si muoverebbe di moto percepito inerziale nel suo sistema di riferimento, mentre sarebbe considerato un moto curvo se osservato esternamente al campo gravitazionale.

Pensiamo a un moto orbitale confrontando le espressioni di meccanica classica riguardanti l'energia cinetica e quella gravitazionale.

ma/r = mv/rt = mvs/rt = mv²/r

mv²/r = GMm/r²

v² = GM/r

Questo collegamento tra velocità della particella (e del sistema di riferimento su di essa centrato) è la massa generatrice del campo gravitazionale ci autorizza a sostituire la variabile nel fattore di Lorentz.

γ = (1 - v²/c²)^-1/2 = (1 - 2GM/rc²)^-1/2

La presenza del fattore 2 sarà chiarita nel capitolo dei buchi neri ed è conseguenza delle formulazioni di Einstein che seguiranno. Con r=∞ γ→1 quindi a distanza infinita dalla massa non se ne percepisce la gravità e con essa la distorsione percettiva data dal fattore di Lorentz. La gravità risulta in questa interpretazione essere un effetto percettivo e non una forza reale.

Con r→2GM/c² il fattore γ→0. Applichiamo questa versione gravitazionale del fattore di Lorentz alle trasformazioni di coordinate della relatività ristretta:

γt' = t

x' = γx

Otteniamo che il tempo di una particella in avvicinamento alla massa generatrice del campo gravitazionale appare da un osservatore a distanza infinita (esterno al campo) rallentare. Al contrario le lunghezze radiali appaiono allungarsi.

Il rallentamento del tempo (come l'allungarsi delle distanze radiali) essendo legati a r possono al pari di questo essere usati come indicatori di livello dell'energia potenziale. Come una particella tende a muoversi verso livelli più bassi di potenziale allo stesso modo possiamo affermare che essa tenda verso livelli energetici dove il tempo scorre più lentamente.

Prima di proseguire ricordiamoci che Minkowski ci spiega come spazio e tempo siano interdipendenti. Non esiste lo spazio e il tempo separati, ma lo spaziotempo. Dobbiamo quindi supporre che a curvarsi sia lo spaziotempo.

Seguendo l'idea di identità tra geometria ed energia proviamo ad accostare la curvatura geometrica dello spaziotempo alla massa gravitazionale, operando una uguaglianza da ponderare tra un'espressione della curvatura di uno spaziotempo da una parte e l'espressione della massa-energia dall'altra. L'identità che andiamo a scrivere è chiamata equazione gravitazionale (o di campo) di Einstein.

S = kT

I termini S e T sono espressi da tensori (si immaginino delle matrici aventi come componenti dei coefficienti derivati e derivabili direzionalmente) che descrivono nelle varie dimensioni i differenziali geometrici ed energetici dello spazio. Per quanto riguarda k è il coefficiente di trasformazione tra le risultanze dei due sistemi, che concettualmente misurano lo stesso spazio utilizzando grandezze differenti.

Il tensore energetico T per la legge di conservazione deve avere localmente divergenza nulla. Non subire variazioni spostandosi lungo una qualsiasi direzione. Dall'altro lato dell'uguaglianza dobbiamo quindi porre un tensore avente questa caratteristica. Ponendo assenza di torsione sappiamo che ha divergenza nulla il tensore di Einstein: G_hj=R_hj − (1/2)(g_hjR) per il quale risulta ∇_hG_hj = 0. Applichiamo questo tensore all'identità.

G_hj = kT_hj

R_hj − (1/2)(g_hjR) = kT_hj

Un altro tensore a divergenza nulla è quello metrico nel caso di assenza di torsione: ∇_k(g_hj) = Γ_kh,j + Γ_kj,h. Contraendo su k,h abbiamo due simboli di Christoffel che sono antisimmetrici sull'inversione degli ultimi due indici. Questa proprietà rende nulla la loro somma.

∇_k(g_hj) = Γ_kh,j + Γ_kj,h

∇_h(g_hj) = Γ_hh,j + Γ_hj,h = 0

L'equazione di Einstein risulta corretta anche con l'inserimento della derivata covariante del tensore metrico. L'aggiunta di un termine all'uguaglianza ci costringe a sdoppiare il coefficiente di trasformazione.

αG_hj + βg_hj = T_hj

Dividendo i coefficienti per α e ponendo Λ=β/α e ponendo k=1/α otteniamo la semplificazione:

G_hj + Λg_hj = kT_hj

R_hj − (1/2)Rg_hj + Λg_hj = kT_hj

Il coefficiente Λ è detta costante cosmologica. Con o senza il termine cosmologico l'equazione di Einstein risulta formalmente corretta.

Il dibattito su quale sia l'espressione corrispondente al mondo reale ha avuto un'alternanza di convinzioni nel tempo. Uno spazio dominato dalla gravità dovrebbe collassare. Cosa che non avviene. Einstein introdusse la costante cosmologica come la forza antigravitazionale che garantisce la stabilità gravitazionale dell'universo. In seguito la scoperta dell'espansione dell'universo, attribuita alla forza cinetica del big bang sovrastante la gravità, condusse alla rimozione della costante cosmologica non più necessaria per spiegare il reale. Successivamente le evidenze di una espansione accelerata (e non in attenuazione) dell'universo riportarono alla necessità di una forza che spiegasse tale accelerazione, con conseguente reintroduzione della costante.

L'equazione di Einstein, applicata allo spaziotempo porta i due indici ad assumere quattro possibili valori, uno per ciascuna delle quattro dimensioni. I quattro valori vengono presi a coppia portando a una combinazione di quattro elementi presi a coppie di elementi ripetibili. Il risultato sono dieci equazioni indipendenti.

L'equazione di Einstein se scritta in forma mista permette una comoda riformulazione.

R^h_j − (1/2)Rg^h_j + Λg^h_j = kT^h_j

Semplifichiamo considerando che il tensore metrico misto corrisponde a un delta di Kronecker. Applichiamo anche la contrazione sugli indici h,j. Troviamo che g^j_j=δ^j_j=4. Il valore deriva dalla sommatoria di Einstein del delta sull'indice a quattro dimensioni.

R^j_j − (1/2)Rδ^j_j + Λδ^j_j = kT^j_j

R − (1/2)R4 + Λ4 = kT

R = 4Λ − kT

La contrazione ci porta a una equazione espressa sullo scalare di curvatura. Possiamo riportare questa espressione di R nell'equazione covariante ottenendo una sua ulteriore espressione.

R_hj − (1/2)(4Λ − kT)g_hj + Λg_hj = kT_hj

R_hj − Λg_hj = k(T_hj − (1/2)g_hjT)

Deduzione variazionale delle leggi

Le equazioni gravitazionali sono state sopra ricavate seguendo un percorso euristico. Cerchiamo di ricavarle in modo più ortodosso partendo dai principi variazionali. Utilizziamo al tal fine la forma contratta delle equazioni di Einstein, tralasciando la costante cosmologica. Questa essendo un addendo indipendente può essere poi aggiunta liberamente.

R = −kT

Nel paragrafo precedente abbiamo posto come requisito l'uguaglianza tra descrizione geometrica e di campo gravitazionale. Questo ci ha permesso di trovare le equazioni di Einstein. Esse descrivono il caso di una particella in caduta libera in un campo gravitazionale. La compensazione dei due effetti cinetico T e gravitazionale V pone il sistema a zero energia totale. L'equazione di Einstein dovrebbe rispondere all'uguaglianza energetica.

V = T

Questo stato di equilibrio non descrive tutte le situazioni. Il caso generale di un sistema chiuso è un livello energetico L costante.

L = T − V = cost

Il moto infinitesimo di una particella è descritto dal concetto di azione che consiste nel lavoro svolto per il tempo. Integrando otteniamo una descrizione su traiettorie di lunghezza non infinitesima.

S = ⎰ Ldt

Il principio di minima azione definisce la traiettoria percorsa da una particella come quella che impiega minore energia. La conservazione dell'energia invece pone nullo il differenziale dell'azione.

∂S = ∂⎰ Ldt = 0

Caliamo l'integrale d'azione nel contesto della gravitazione relativistica. Analizziamo il solo termine V e consideriamo che nello spazio di Minkowski non abbiamo distinzione tra dimensione temporale e spaziale. Abbiamo quattro dimensioni spaziali (essendo x=ct).

∂⎰ Vdx

Passiamo dall'analisi energetica di una particella a quella di un quadrispazio, andando a integrare su volumi Ω infinitesimi.

∂⎰ VdΩ

Ricordiamo la definizione generica del volume in una varietà e applichiamola all'espressione.

∂⎰ V(−g)^1/2dx⁴

Con il termine g indichiamo il determinante della matrice del tensore metrico. In uno spazio di Minkowski esso è negativo per cui poniamolo sotto segno negativo per avere l'argomento della radice positivo.

Seguendo l'interpretazione di Einstein che interpreta il campo gravitazionale come effetto della geometria o meglio della curvatura dello spazio. In questa ottica ricerchiamo ora un termine geometrico alternativo a V. Questo è un valore scalare che indica un livello energetico. Possiamo pensare come sostituto allo scalare di curvatura. Il potenziale gravitazionale è un valore risultante da una funzione V(dx,ẋ), dipendente dalla distanza percorsa e dalla velocità (che è la derivata della distanza percorsa) della particella. Se vogliamo descriverlo in termini geometrici dobbiamo affidarci a una funzione che abbia le stesse dipendenze. Analizziamo lo scalare di curvatura descritto in una base geodetica.

R = g^kj∇_kΓ^h_jh − g^kj∇_jΓ^h_kh

Si può notare come esso dipende dal tensore metrico (i cui elementi misurano un coefficiente di distanza) e dai simboli di Christoffel che sono funzioni lineari di derivate dei componenti del tensore metrico. Ci sentiamo quindi legittimati alla sostituzione L=R.

∂⎰ R(−g)^1/2dx⁴

Applichiamo l'integrale d'azione anche all'energia cinetica mantenendo la descrizione classica, solamente riportata in uno spazio quadridimensionale.

∂⎰ T(−g)^1/2dx⁴

Ricomponiamo l'integrale.

∂⎰ (R + T)(−g)^1/2dx⁴ = 0

∂⎰ (g^hjR_hj(−g)^1/2 + T(−g)^1/2)dx⁴ = 0

Nel secondo integrale abbiamo sostituito lo scalare di curvatura con il tensore di Ricci. Seguendo le regole del calcolo tensoriale passiamo dagli scalari a tensori di rango due. Applichiamo poi il differenziale all'interno dell'integrale seguendo le regole di Leibniz.

∂⎰ [g^hjR_hj(−g)^1/2]dx⁴ + ∂⎰ [g^hjT_hj(−g)^1/2]dx⁴ = 0

⎰ [∂g^hj R_hj(−g)^1/2 + g^hj ∂R_hj (−g)^1/2 + g^hjR_hj ∂(−g)^1/2]dx⁴ +

⎰ [∂g^hjT_hj(−g)^1/2 + g^hj ∂T_hj (−g)^1/2 + g^hjT_hj ∂(−g)^1/2]dx⁴ = 0

Calcoliamo uno a uno i termini nei due integrali.

Il secondo termine: g^hj ∂R_hj (−g)^1/2 è nullo in quanto il suo integrale volumetrico può essere trasformato in un integrale di superficie. La superficie rappresenta la frontiera del volume. In essa le componenti dei vettori di un campo vettoriale divergente (convergente) U risultano avere un differenziale nullo.

Valore nullo assume anche g^hj ∂T_hj (−g)^1/2 dove poniamo T_hj un valore quantità-energia che si dà per non suscettibile di variazione.

⎰ [∂g^hj R_hj(−g)^1/2 + g^hjR_hj ∂(−g)^1/2]dx⁴ +

⎰ [∂g^hjT_hj(−g)^1/2 + g^hjT_hj ∂(−g)^1/2]dx⁴ = 0

Prima di proseguire con gli altri termini studiamo il fattore ∂(−g)^1/2

∂(−g)^1/2 = −∂g/2(−g)^1/2

La derivata di un tensore metrico è ∂g=gg^hj∂g_hj=−gg_hj∂g^hj. Sostituiamo la forma negativa nel differenziale.

∂(−g)^1/2 = −(1/2)(−g)g_hj∂g^hj/(−g)^1/2 = −(1/2)(−g)^1/2g_hj∂g^hj

Applichiamo questa espressione nei due integrali.

⎰ [∂g^hj R_hj(−g)^1/2 − g^hjR_hj (1/2)((−g)^1/2g_hj∂g^hj)]dx⁴ +

⎰ [∂g^hjT_hj(−g)^1/2 − g^hjT_hj (1/2)((−g)^1/2g_hj∂g^hj)]dx⁴ = 0

⎰ [R_hj − (1/2)g^hjR_hjg_hj](−g)^1/2 ∂g^hj dx⁴ +

⎰ [1 − (1/2)]T_hj ∂g^hj(−g)^1/2 dx⁴ = 0

⎰ [R_hj − (1/2)R g_hj](−g)^1/2 ∂g^hj dx⁴ +

⎰ −k T_hj ∂g^hj (−g)^1/2 dx⁴ = 0

Riunifichiamo i due integrali.

⎰ [R_hj − (1/2)R g_hj − kT_hj](−g)^1/2 ∂g^hj dx⁴ = 0

Per il lemma fondamentale del calcolo delle variazioni abbiamo che anche il contenuto della parentesi quadra si annulla. Questo ci permette di ritrovare le equazioni di Einstein.

R_hj − (1/2)R g_hj − kT_hj = 0

Possiamo aggiungere all'equazione la costante cosmologica.

Gravità e metrica

Abbiamo sostituito il postulato di Newton che definisce la gravità come una forza che si propaga a velocità infinita con quello che la descrive come un fenomeno geometrico. Ciò facendo non si pone più il problema di giustificare l’interazione immediata a distanza di una forza. L’interazione sarebbe dovuta allo spazio e quindi già presente in esso. Abbiamo dimostrato come questa interpretazione geometrica della gravità sia consistente con la conservazione locale dell'energia.

Cerchiamo ora eliminare il postulato ricercando un percorso logico-matematico che colleghi la curvatura alla gravità. Dato che la gravità è percepita in uno spazio piatto di Minkowski, chiediamoci se questa non sia l'effetto della distorsione dovuta al considerare piatto uno spazio che in realtà è curvo.

Il campo gravitazionale V è descritto dalle leggi di Newton in uno spazio euclideo (piatto). La geometria differenziale ci propone l'astrazione di spazi curvi di cui quello euclideo è il caso particolare a curvatura zero. Sovrapponendo i due spazi in un punto, in un suo intorno sufficientemente piccolo, la geometria di una varietà curva è approssimabile a uno spazio euclideo (spazio piano). Nel caso della relatività lo spazio euclideo è da sostituirsi con quello di Minkowski (anch'esso piano). Essendo quest'ultimo uno spazio privo di torsione assegniamo anche allo spazio curvo questo carattere.

A differenziare i due spazi rimane il diverso grado di curvatura che si ritrova in una differenza tra i rispettivi tensori metrici. Il tensore metrico è la matrice dei coefficienti che descrivono la variazione dello spazio lungo ogni dimensione e per ciascuna in relazione ad ogni dimensione. Raccogliamo questi coefficienti in una matrice quadrata simmetrica detta tensore metrico.

Prima di confrontare i due tensori poniamo l'importante condizione di indipendenza dal tempo (campo stazionario). I due spazi non mutano le loro caratteristiche geometriche nel tempo. Abbiamo quindi due tensori metrici da mettere in relazione, il tensore metrico dello spazio di Minkowski: η_ij e quello di una generica varietà curva: g_ij. Poniamo che i due tensori metrici differiscano per un terzo elemento: h_ij. Questo per operare matematicamente con gli altri deve avere stessa natura, deve essere un tensore simmetrico, ma a differenza di questi non è metrico. Per l'approssimazione descritta, in un intorno infinitesimo l'incidenza di h_ij si riduce di un coefficiente molto piccolo ε in modo tale che |εh_ij|<<1.

g_ij = η_ij + εh_ij

Il termine εh_ij è considerabile come l'errore in cui si incorre approssimando una varietà curva a uno spazio piano.

Ricaviamo anche la forma controvariante che ci sarà utile nel prosieguo. Dato che g^ijg_ij=δⁱ_j allora poniamo:

(η^ij + εk^ij)(η_ij + εh_ij) = δⁱ_j

(η^ijη_ij + εk^ijη_ij + η^ijεh_ij + εk^ijεh_ij = δⁱ_j

Escludiamo l'ultimo termine essendo di grado ε². Questo termine è dato per molto piccolo e il suo prodotto rende trascurabile ciò che moltiplica.

δⁱ_j + εk^ijη_ij + η^ijεh_ij = δⁱ_j

εk^ijη_ij + η^ijεh_ij = 0

εk^ijη_ij = −η^ijεh_ij

k^ij = −h_ij

Sostituendo k con −h abbiamo la forma controvariante.

g^ij = η^ij − εh^ij

Utilizziamo l'approssimazione covariante nella formulazione della distanza.

ds² = g_ijxⁱx^j = η_ijxⁱx^j + εh_ijxⁱx^j

Il tensore metrico di Minkowski è una matrice diagonale a valori unitari. Abbiamo quindi nulli tutti i prodotti misti. Applicando questo tensore scriviamo in forma estesa l'elemento di linea.

ds² = (dx⁰)² − (dx¹)² − (dx²)² − (dx³)² + εh₀₀dx⁰dx⁰ + 2εh_0αdx⁰dx^α + εh_αγdx^αdx^γ

L'espressione è scritta utilizzando α,γ = [1,2,3] come indici spaziali. Su di esse sono implicite le sommatorie di Einstein. Pensiamo ora alla distanza come allo spazio percorso in moto inerziale da una particella in un intervallo di tempo misurato da un sistema esterno. La formula differenziale diventa una derivata temporale.

ds²/dt² = (dx⁰)²/dt² − [(dx¹)² − (dx²)² − (dx³)²]/dt² + εh₀₀(dx⁰/dt)(dx⁰/dt) +

2εh_0α(dx⁰/dt)(dx^α/dt) + εh_αγ(dx^α/dt)(dx^γ/dt)

Sappiamo che per coordinata temporale vale dx⁰=cdt mentre definiamo u=(dx¹+dx²+dx³)/dt e u^α=dx^α/dt.

ds²/dt² = c² − u² + εh₀₀c² + 2εh_0αc²u^α + εh_αβc²u^αu^γ

ds²/dt² = c²(1 − β² + εh₀₀ + 2εh_0αu^α + εh_αγu^αu^γ

Le leggi di Newton sono definite in un contesto di velocità v<<c, cosa che porta β<<1. Ci troviamo con due termini piccolissimi: ε, β e v. Nel contesto di approssimazione questi fattori se posti al quadrato o se entrambi presenti portano termini in cui sono presenti ad essere infinitesimi di un grado superiore rispetto a dove è presente uno solo dei fattore e al 1° grado. Omettiamo questi elementi il cui contributo nella somma è trascurabile.

ds²/dt² = c²(1 + εh₀₀)

Utilizziamo questa espressione come mattone per gestire l'approssimazione dallo spazio curvo a quello piatto.

Come punto di partenza abbiamo il moto inerziale in uno spazio curvo che è descritto da linee geodetiche. La loro formula è la seguente:

d dxⁱ dx^k dx^j
∇_sxⁱ = —— ——— + Γⁱ_kj ——— ——— = 0
ds ds ds ds

Questa formula, definita nello spazio curvo, ma per quanto affermato può essere approssimata in uno spazio di Minkowski. Osserviamo le conseguenze di questa approssimazione. Iniziamo a scomporre la sommatoria su i,j=(0,1,2,3) in 0 e α,γ=(1,2,3).

d dxⁱ dx⁰ dx⁰ dx^α dx⁰ dx^α dx^γ
∇_sxⁱ = —— ——— + Γⁱ₀₀ ——— ——— + 2Γⁱ_α0 ——— ——— + Γⁱ_αγ ——— ——— = 0
ds ds ds ds ds ds ds ds

Analizziamo i simboli di Christoffel presenti. Avendo posto la condizione di torsione nulla dello spazio, abbiamo la verificata la connessione di Levi-Civita che ci permette di utilizzare la relativa espressione dei simboli di Christoffel. L'approssimazione pone che essi non calcolino le derivate direzionali di g_ij, bensì quelle di η_ij che da loro valore nullo (spazio piatto) e di εh_ij che ha un fattore ε estraibile dalle derivazioni, che ne determina l'ordine di grandezza.

Γⁱ_kj = (1/2)(η^ij − εh^ij)(∂_i(η_jm+εh_jm) + ∂_j(η_mi+εh_mi) − ∂_m(η_ij+εh_ij))

Γⁱ_kj = (1/2)(η^ij − εh^ij)ε(∂_ih_jm + ∂_jh_mi − ∂_mh_ij)

Passiamo ai termini dx^α/ds che sono di ordine β.

(dx^α/ds)(dx^γ/ds) = (dx^α/dt)(dx^γ/dt)(dt/ds)² = (v^αv^γ)/c²(1 + εh₀₀) ≃ β²

Il terzo elemento della geodetica ha dimensione pari almeno a εβ, mentre il quarto ha εββ. Essendo ε e β molto piccoli il loro prodotto li porta a formare un coefficiente quasi pari a zero che rende trascurabile in una equazione lineare (in una somma) il termine a cui sono applicati. Teniamo quindi in considerazione solo i primi due termini della funzione geodetica.

d²xⁱ (dx⁰)²
∇_sxⁱ = ——— + Γⁱ₀₀ ———— = 0
ds² ds²

Studiamo il primo termine.

(d²xⁱ/dt²)(dt²/ds²) = (d²xⁱ/dt²)/c²(1 + εh₀₀)

Nel secondo termine in modo simile e sapendo che dx⁰=cdt abbiamo:

((dx⁰)²/dt²)(dt²/ds²) = c²/c²(1 + εh₀₀) = 1/(1 + εh₀₀)

Sommiamo le due soluzioni nell'espressione delle geodetiche che risultano ora derivate sul tempo.

∇_txⁱ = (d²xⁱ/dt²)/c²(1 + εh₀₀) + Γⁱ₀₀/(1 + εh₀₀) = 0

∇_txⁱ = d²xⁱ/dt² + c²Γⁱ₀₀ = 0

Ci rimangono da calcolare i simboli di Christoffel a cui applichiamo l'approssimazione del tensore metrico g^ik.

Γⁱ₀₀ = g^ikΓ_00,k = (1/2)g^ik(∂₀g_0k + ∂₀g_k0 − ∂_kg₀₀)

Γⁱ₀₀ = (1/2)(η^ik − εh^ik)(∂₀(η_0k + εh_0k) + ∂₀(η_k0 + εh_k0) − ∂_k(η₀₀ + εh₀₀))

Lo spazio di Minkowski è uno spazio piano, i componenti del suo tensore metrico sono degli scalari, quindi ∂_jη_ik=0.

Γⁱ₀₀ = (1/2)(η^ik − εh^ik)ε(∂₀h_0k + ∂₀h_k0 − ∂_kh₀₀)

Abbiamo posto all'inizio di questa analisi l'indipendenza dei tensori rispetto al tempo. Questo rende nulli i primi due addendi.

Γⁱ₀₀ = (1/2)(η^ik − εh^ik)(−ε∂_kh₀₀)

Γⁱ₀₀ = (1/2)(−η^ikε∂_kh₀₀ + ε²h^ik∂_kh₀₀)

Per il principio di eliminazione dei termini di grado superiore al primo rimaniamo con l'espressione:

Γⁱ₀₀ = −(1/2)(εη^ik∂_kh₀₀)

Avendo imposto l'invarianza rispetto al tempo ∂₀h₀₀=0, escludiamo questo termine e riformuliamo sull'indice spaziale α. Ricomponiamo la formula geodetica con le semplificazione qui ricavate.

Γ^α₀₀ = −(1/2)(εη^αk∂_kh₀₀)

Γ^α₀₀ = −(1/2)(εη^α0∂₀h₀₀ + εη^α1∂₁h₀₀ + εη^α2∂₂h₀₀ + εη^α3∂₃h₀₀)

Il tensore metrico η^αk=−1 solo se α=k, altrimenti da valore nullo. Per qualsiasi valore di α=(1,2,3) solo uno dei tre addendi risulta non nullo e sempre pari a −1. Manteniamo quindi solo una derivata nella formula.

Γ^α₀₀ = (1/2)(ε∂_αh₀₀)

Riportiamo questo valore finale dei numeri di Christoffel nella funzione geodetica.

∇_tx^α = d²x^α/dt² + c²Γ^α₀₀ = 0

∇_tx^α = d²x^α/dt² + (1/2)c²ε∂_αh₀₀ = 0

∇_tx^α = d²x^α/dt² = −(1/2)c²ε∂_αh₀₀

Il vettore x^α essendo definito dall'indice α è un trivettore spaziale. Possiamo quindi considerare la sua derivata temporale seconda una accelerazione a. Il terzo termine sottende una sommatoria di Einstein di derivate direzionali. Si tratta quindi di un gradiente: ∇h₀₀ = ∂₁h₀₀+∂₂h₀₀+∂₃h₀₀.

g = −(1/2)c²ε∂_αh₀₀

g = −∇[(1/2)c²εh₀₀]

Abbiamo chiamato g l'accelerazione (non intendiamo qui g come determinante del tensore metrico). Denotiamo inoltre con Φ l'argomento del gradiente.

g = −∇Φ

Quella appena scritta è la definizione dell'accelerazione di un campo gravitazionale espressa come gradiente del potenziale gravitazionale. Siamo riusciti a trasformare la funzione di una geodetica che descrive il moto in uno spazio curvo in una espressione dell'accelerazione gravitazionale. La geometria dello spazio curvo determina l'intensità della forza gravitazionale. Questo a condizione che:

Φ = (1/2)c²εh₀₀

2Φ/c² = εh₀₀

Formuliamo la condizione ponendola sul tensore metrico .

g₀₀ = η₀₀ εh₀₀

g₀₀ = 1 + 2Φ/c²

Tensore energia-impulso

Nel paragrafi precedenti abbiamo identificato il tensore di Einstein come indicatore della geometria dello spazio generatrice del campo gravitazionale. Il secondo tensore T_hj rappresenta la descrizione inerziale del modello di Einstein. La cinetica inerziale è definita da due grandezze invarianti: la massa e la velocità.

T = mv²

Un semplice tensore che possiamo applicare riprende questa forma, calandola in un contesto relativistico. Al posto della massa utilizziamo la densità di massa-energia μ₀, osservata da un punto comovente con la massa. La densità è dovuta al fatto che il tensore è argomento di un integrale volumetrico. Per quanto riguarda la velocità applichiamo la quadrivelocità U.

T_hj = μ₀U_hU_j

Ciascuna quadrivelocità è un vettore i cui componenti direzionali sono misurati su quattro dimensioni. Essendoci nell'espressione del tensore due termini di quadrivelocità i rispettivi componenti direzionali si possono abbinare in forma matriciale. Il tensore risulta essere una matrice di 4×4 elementi.

┌ ┐
│ T₀₀ T₀₁ T₀₂ T₀₃ │
│ │
│ T₁₀ T₁₁ T₁₂ T₁₃ │
│ │
│ T₂₀ T₂₁ T₂₂ T₂₃ │
│ │
│ T₃₀ T₃₁ T₃₂ T₃₃ │
└ ┘

La quadrivelocità misura il moto nello spaziotempo. Abbiamo quindi velocità temporale, spaziali e miste. Le espressioni che le descrivono risultano quindi differire a causa della diversa composizione del loro argomento.

U₀ = γcdt/dt = γc velocità intervallo tipo tempo

−U_i = −γdx_i/dt = −γu_i velocità intervallo tipo spazio

Alla luce di queste due espressioni scriviamo i componenti del tensore.

T₀₀ = μ₀U₀U₀ = μ₀γ²c²

T₀₁ = μ₀U₀U₁ = −μ₀γ²cu₁

T₁₁ = μ₀U₁U₁ = μ₀γ²u₁²

T₁₂ = μ₀U₁U₂ = μ₀γ²u₁u₂

...

Osservando da un sistema non comovente la massa, questa viene percepita come relativistica: γm₀=m. Lo stesso dicasi per il volume. Se prendiamo un cubo in moto inerziale lungo un suo spigolo abbiamo che tale spigolo risulta contratto. Questo comporta la contrazione del volume misurato.

V = L₀L₀L₀/γ = V₀/γ

Applichiamo i termini relativistici alla formula della densità di massa.

μ = m/V = m₀γ/V₀γ = μ₀γ²

La matrice del tensore energia-impulso si semplifica.

┌ ┐
│ μc² −μcu₁ −μcu₂ −μcu₃ │
│ │
│ −μu₁c μu₁² μu₁u₂ μu₁u₃ │
T_hj = │ │
│ −μu₂c μu₂u₁ μu₂² μu₂u₃ │
│ │
│ −μu₃c μu₁u₃ μu₂u₃ μu₃² │
└ ┘

Il componente T₀₀ rappresenta l'energia di una massa che si muove solo nel tempo ed è ferma nello spazio. La formula esprime in termini di densità di massa la più famosa E=mc².

Raccogliendo il fattore comune μc² troviamo nei componenti il rapporto β_i=u_i/c che quindi riscriviamo come:

┌ ┐
│ 1 −β₁ −β₂ −β₃ │
│ │
│ −β₁ β₂² β₁β₂ β₁β₃ │
T_hj = μc²│ │
│ −β₂ β₂β₁ β₂² β₂β₃ │
│ │
│ −β₃ β₁β₃ β₂β₃ β₃² │
└ ┘

In uno stato inerziale tutti i fattori che compongono il tensore sono invarianti. Ne consegue l'invarianza, la conservazione, dell'energia.

∂T_hj = 0

Limite newtoniano

Dimostriamo che le equazioni di moto di Newton sono un caso particolare delle più generali equazioni di Einstein. Riprendiamo l'espressione di queste ultime e poniamole in un contesto newtoniano.

R_hj = k(T_hj − (1/2)g_hjT)

Conduciamo i suoi termini alla condizione stazionaria, indipendente dal tempo e dove le quadrivelocità è molto piccola rispetto alla velocità della luce: u<<c. Questo significa che che β≃0 e γ≃0. Il tensore energia-impulso identificato con T_hj, in questo ambiente risulta definito da una matrice nella quale il solo componente temporale risulta non nullo. Questo coincide con la densità di massa-energia per c².

┌ ┐
│ μ₀c² 0 0 0 │
│ │
│ 0 0 0 0 │
T_hj = │ │
│ 0 0 0 0 │
│ │
│ 0 0 0 0 │
└ ┘

Iniziamo l'analisi del valore di T che essendo T=T^h_h, è determinato dalla somma dei soli elementi della diagonale, quelli aventi indici coincidenti. Questa operazione è detta traccia della matrice: Tr(T^h_j).

T = T^h_h = g^hjT_hj = (η^hj − εh^hj)T_hj

Data la traccia (la somma dei valori della diagonale) μ₀c²+0+0+0 il valore scalare di T è dato solo dal primo elemento.

T = η⁰⁰μ₀c² − εh⁰⁰μ₀c² ≃ μ₀c²

Nell'ultimo passaggio abbiamo trascurato il termine con il doppio fattore infinitesimo εμ₀. Tralasciando sempre i termini con doppi infinitesimi otteniamo l'approssimazione in un contesto newtoniano della parte finale delle equazioni di Einstein.

(1/2)g_hjT = (1/2)(η_hj + εh_hj)μ₀c² ≃ (1/2)η_hjμ₀c²

La presenza di η_hj ci dice che siamo di fronte a una matrice di Minkowski i cui elementi unitari della diagonale (gli altri sono nulli) sono moltiplicati per il fattore (1/2)μ₀c². Riportando questa espressione nelle equazioni di Einstein ci troviamo ad avere una sottrazione di matrici: kT_hj − (1/2)kg_hjT).

┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐
│ kμ₀c² 0 0 0 │ │ kμ₀c²/2 0 0 0 │ │ kμ₀c²/2 0 0 0 │
│ │ │ │ │ │
│   0 0 0 0 │ │ 0 −kμ₀c²/2 0 0 │ │ 0   kμ₀c²/2 0 0 │
│ │ − │ │ = │ │
│   0 0 0 0 │ │ 0 0 −kμ₀c²/2 0 │ │ 0 0 kμ₀c²/2 0 │
│ │ │ │ │ │
│   0 0 0 0 │ │ 0 0 0 −kμ₀c²/2 │ │ 0 0 0 kμ₀c²/2 │
└ ┘ └ ┘ └ ┘

┌ ┐
│ 1 0 0 0 │
│ │
│ 0 1 0 0 │
(1/2)kμ₀c²│ │ = (1/2)kμ₀c²δ_hj
│ 0 0 1 0 │
│ │
│ 0 0 0 1 │
└ ┘

Passiamo ora ad analizzare il tensore di curvatura di ricci.

Rⁱ_hij = R_hj = ∇_iΓⁱ_jh − ∇_jΓⁱ_ih

I simboli di Christoffel contratti sull'indice i , presenti nel secondo termine del tensore di Ricci, possono essere scritti in forma non tensoriale.

Γⁱ_ih = (1/2)g^im(∂_ig_mh + ∂_kg_mi − ∂_mg_ih)

Γⁱ_ih = (1/2)(g^im∂_ig_mh + g^im∂_hg_mi − g^im∂_mg_ih)

Prendiamo il primo addendo e invertiamo gli indici muti (di sommatoria) i e m. Il risultato coincide con l'espressione del terzo addendo, cosa che ci permette la loro reciproca semplificazione (applicando la simmetria g^im=g^mi).

g^im∂_ig_mh = g^mi∂_mg_ih = g^im∂_mg_ih

Γⁱ_ih = (1/2)g^im∂_hg_mi

Dalle proprietà delle matrici e ponendo g=det(g_im) abbiamo che:

∂(det(g_im)) = det(g_im) Tr((g^im)∂(g_im))

∂g = gg^im∂(g_im)

∂g/g = g^im∂(g_im)

Sostituendo scriviamo:

Γⁱ_ih = (1/2)∂g/g

Ricordiamoci la formula della derivata del logaritmo di una funzione: ∂ln(g)=∂g/g riconosciamo nell'espressione dei simboli di Christoffel la derivata del logaritmo di g che dato il suo valore negativo poniamo come −g.

Γⁱ_ih = (1/2)∂_hln(−g)

∂_jΓⁱ_ih = (1/2)∂_jhln(−g)

Il tensore di Ricci può quindi essere riscritto come:

R_hj = ∇_iΓⁱ_jh − (1/2)∂_jhln(−g)

Il limite newtoniano, ma manche l'approssimazione in uno spazio di Minkowski delle geodetiche ci ha condotto ad vare come elemento non nullo o delle matrici metriche quello avente entrambo gli indici 0. Limitiamoci quindi a sviluppare il tensore di Ricci su questo componente.

R₀₀ = ∇_iΓⁱ₀₀ − (1/2)∂₀₀ln(−g)

Nella semplificazione newtoniana l'elemento con il logaritmo presentando una derivata temporale è nullo. Abbiamo imposto che ci sia invarianza temporale. Avevamo poi già ricavato che Γ^α₀₀=(1/2)(ε∂_αh₀₀).

R₀₀ = ∇_i[(ε/2)(∂_αh₀₀)]

Distinguiamo la sommatoria (di Einstein) delle derivate direzionali ∂_α, ossia un gradiente, dalla sommatoria su ∇_i che invece è una divergenza. L'operazione che compone la divergenza di un gradiente è detta laplaciano ∇².

R₀₀ = (ε/2)∇²h₀₀

Unifichiamo la riformulazione dei due termini dell'identità di Einstein ottenuta apportando i limiti newtoniani, applicandola all'unica condizione non nulla: h=j=0. Non riportiamo nel secondo elemento il delta di Kronecker essendo δ₀₀=1.

(ε/2)∇²h₀₀ = (1/2)kμ₀c²

∇²(εh₀₀/kc²) = μ₀

Da questa equivalenza vediamo come il termine perturbativo h₀₀ sia determinato dalla massa μ₀. In assenza di massa avremmo h₀₀=0, il che significa g_ij = η_ij. In assenza di gravità non ci ha uno spazio curvo, ma piatto. La densità di materia determina l'entità della perturbazione, ossia della curvatura.

Proseguiamo nel ricercare in questa approssimazione le equazioni di Newton. Moltiplichiamo a tale fine i due termini per 4πG.

∇²(4πGεh₀₀/kc²) = 4πGμ₀

Se nominiamo Φ l'argomento del laplaciano, ossia se lo definiamo come il potenziale gravitazionale generato da μ₀ abbiamo l'equazione di Poisson che definisce il flusso del campo gravitazionale misurato sulla superficie di una sfera circondante una massa.

∇²(Φ) = 4πGμ₀

Il potenziale è qui definito nella condizione di limite newtoniano. Ma avevamo trovato anche una valorizzazione generale. Entrambe le definizioni devono essere verificate nel limite newtoniano. Dobbiamo quindi porre:

Φ = 4πGεh₀₀/kc² = (1/2)c²εh₀₀

8πG/c⁴ = k

Questa uguaglianza ci porta a determinare il valore del coefficiente di conversione tra descrizione geometrica e cinetica dei sistemi che prende il nome di costante di accoppiamento. Il termine k è stato posto nella formulazione come una costante. I termini che lo compongono sono costanti. Ne consegue la sua invarianza e il suo valere anche nei casi non newtoniani.

Scriviamo di seguito la forma finale delle equazioni di Einstein.

1 8πG
R_hj − ——g_hjR = ————T_hj
2 c⁴