Le equazioni di Einstein descrivono geometricamente il campo gravitazionale prodotto da una massa. Se ne cercassimo la soluzione in un contesto di totale generalizzazione ci troveremmo di fronte a una calcolo di difficile soluzione. Lo spazio reale, che osserviamo, però ha delle proprietà definite che possiamo utilizzare per limitare la generalizzazione al fine di avere delle espressioni di più facile soluzione. Ricordiamo che le equazioni di Einstein sono equazioni di campo, esse descrivono lo spazio vuoto, soggetto a un campo gravitazionale. Non descrivono lo spazio interno al corpo che genera il campo.
Ipotizziamo un modello di spazio nel quale permane una condizione di invarianza temporale. Il campo gravitazionale è stazionario ossia i componenti del tensore metrico sono invarianti rispetto al tempo: ∂0gkj=0. Intensifichiamo questo concetto imponendo che il campo sia statico, ossia siano anche nulle le relazioni delle dimensioni spaziali (α,γ=1,2,3) con quella temporale, cosa che si traduce nel tensore metrico nell'avere i componenti g0γ=gα0=0 e nella metrica i termini gα0dxαdx0=0. Otteniamo quindi:
┌ ┐ ┌ ┐
│ g00 0 0 0 │ │ dx0 │
│ │ │ │
│ 0 g11 g12 g13 │ │ dx1 │
│ │ │ │
│ 0 g21 g22 g23 │ │ dx2 │
│ │ │ │
│ 0 g31 g32 g33 │ │ dx3 │
└ ┘ └ ┘
ds2 = gkjxkxj = g00(dx0)2 + gαγdxαdxγ (α,γ = 1,2,3)
Consideriamo inoltre uno spazio isotropo, uniforme, senza direzioni privilegiate. In esso poniamo una massa omogenea e perfettamente sferica.
Otteniamo che il campo gravitazionale generato e di conseguenza la curvatura, ereditano la simmetria sferica della massa.
Poniamo la massa al centro di un sistema di riferimento polare, il più adatto a descrivere un campo
avente simmetria sferica. Sostituiamo le coordinate spaziali cartesiane con quelle polari: x1=r,
x2=ψ, x2=ω. L'ortogonalità (indipendenza) delle dimensioni porta a una diagonalizzazione
della matrice metrica con annullo di tutti i componenti a indici misti: gαγ=0 con α≠γ.
┌ ┐ ┌ ┐
│ 1 0 0 │ │ dr │
│ │ │ │
│ 0 r2 0 │ │ dψ │
│ │ │ │
│ 0 0 r2sin2ψ │ │ dω │
└ ┘ └ ┘
ds2 = 1dr2 + r2dψ2 + r2sin2ψdω2
Il passaggio da uno spazio euclideo a uno spaziotempo di Minkowski impone l'introduzione della dimensione spaziale
c2t e l'imposizione del segno negativo per i componenti spaziali.
L'avere postulato uno spazio a simmetria radiale comporta che per spostamenti angolari ψ o ω o una loro combinazione, lo spazio
rimane invariante. I coefficienti metrici corrispondenti dψ e dω in uno spazio Schwarzschild rimangono gli stessi di quelli
euclidei e di Minkowski.
Similmente a come le trasformazioni di Lorentz si applicano solo al tempo e alla direzione di moto relativo tra due sistemi
inerziali, così l'effetto curvatura si verifica solo sulle dimensioni non angolari dt e dr. Imputiamo questo effetto
curvatura a delle funzioni non lineari ev, eλ che andremo a ricercare. La non linearità
è dovuta al fatto di non volere dei coefficienti costanti bensì variabili, come è ipotizzabile che sia visto il comportamento
variabile un campo gravitazionale con la distanza. Il tensore metrico per quanto imposto diviene:
┌ ┐ ┌ ┐
│ ev 0 0 0 │ │ dt │
│ │ │ │
│ 0 −eλ 0 0 │ │ dr │
│ │ │ │
│ 0 0 −r2 0 │ │ dψ │
│ │ │ │
│ 0 0 0 −r2sin2ψ │ │ dω │
└ ┘ └ ┘
ds2 = evc2dt2 − eλdr2 − r2dψ2 − r2sin2ψdω2
Nel cercare le vere funzioni da sostituire a quelle fittizie da noi poste dobbiamo considerare che il campo gravitazionale decresce con la distanza dalla massa generatrice. Dobbiamo supporre che la stessa cosa accada con la curvatura. A distanza infinita dalla massa lo spazio diventa piatto. Dobbiamo quindi porre le due funzioni come dipendenti da r oltre ad avere un limite di azione all'infinito: ev(r),e(r)λ⟶1 con r⟶∞.
Per risolvere le equazioni di Einstein dobbiamo calcolare il tensore di Ricci. Essendo questo composto da simboli di Christoffel andiamo a ricercarne il valore.
Γlij = (1/2)gkl[∂i(gkj) + ∂j(gik) − ∂k(gij)]
Questi operano la somma delle derivate dei componenti nel tensore metrico. Essendo r e ψ le unive variabili presenti nel tensore metrico abbiamo delle derivazioni non nulle solo se operare su di esse.
∂rgtt = ∂r(ev(r)) = ev(r)∂rv(r) = evv'
∂rgrr = ∂r(−eλ(r)) = −eλ(r)∂rλ(r) = −eλλ'
∂rgψψ = ∂r(−r2) = −2r
∂rgωω = ∂r(−r2sin2ψ) = −2rsin2ψ
∂ψgωω = ∂ψ(−r2sin2ψ) = −2r2sinψcosψ
Utilizziamo le derivate per trovare il valore dei simboli di Christoffel di primo grado.
[ij,k] = (1/2)[∂i(gkj) + ∂j(gik) − ∂k(gij)]
Gli indici i,j,k possono assumere il valore t,r,ψ,ω. Essendo non nulle solo le derivate sopra elencate molti simboli avranno valore nullo.
[tt,t] = (1/2)[∂t(gtt) + ∂t(gtt) − ∂t(gtt)] = 0
[tt,r] = (1/2)[∂t(grt) + ∂t(gtr) − ∂r(gtt)] = −(1/2)evv'
[tt,ψ] = (1/2)[∂t(gψt) + ∂t(gtψ) − ∂ψ(gtt)] = 0
[tt,ω] = (1/2)[∂t(gωt) + ∂t(gtω) − ∂ω(gtt)] = 0
[tr,t] = (1/2)[∂t(gtr) + ∂r(gtt) − ∂t(gtr)] = (1/2)evv'
[tr,r] = (1/2)[∂t(grr) + ∂r(gtr) − ∂r(gtr)] = 0
[tr,ψ] = (1/2)[∂t(gψr) + ∂r(gtψ) − ∂ψ(gtr)] = 0
[tr,ω] = (1/2)[∂t(gωr) + ∂r(gtω) − ∂ω(gtr)] = 0
[tψ,t] = (1/2)[∂t(gtψ) + ∂ψ(gtt) − ∂t(gtψ)] = 0
[tψ,r] = (1/2)[∂t(grψ) + ∂ψ(gtr) − ∂r(gtψ)] = 0
[tψ,ψ] = (1/2)[∂t(gψψ) + ∂ψ(gtψ) − ∂ψ(gtψ)] = 0
[tψ,ω] = (1/2)[∂t(gωψ) + ∂ψ(gtω) − ∂ω(gtψ)] = 0
[tω,t] = (1/2)[∂t(gtω) + ∂ω(gtt) − ∂t(gtω)] = 0
[tω,r] = (1/2)[∂t(grω) + ∂ω(gtr) − ∂r(gtω)] = 0
[tω,ψ] = (1/2)[∂t(gψω) + ∂ω(gtψ) − ∂ψ(gtω)] = 0
[tω,ω] = (1/2)[∂t(gωω) + ∂ω(gtω) − ∂ω(gtω)] = 0
[rt,t] = (1/2)[∂r(gtt) + ∂t(grt) − ∂t(grt)] = (1/2)evv'
[rt,r] = (1/2)[∂r(grt) + ∂t(grr) − ∂r(grt)] = 0
[rt,ψ] = (1/2)[∂r(gψt) + ∂t(grψ) − ∂ψ(grt)] = 0
[rt,ω] = (1/2)[∂r(gωt) + ∂t(grω) − ∂ω(grt)] = 0
[rr,t] = (1/2)[∂r(gtr) + ∂r(grt) − ∂t(grr)] = 0
[rr,r] = (1/2)[∂r(grr) + ∂r(grr) − ∂r(grr)] = −(1/2)eλλ'
[rr,ψ] = (1/2)[∂r(gψr) + ∂r(grψ) − ∂ψ(grr)] = 0
[rr,ω] = (1/2)[∂r(gωr) + ∂r(grω) − ∂ω(grr)] = 0
[rψ,t] = (1/2)[∂r(gtψ) + ∂ψ(grt) − ∂t(grψ)] = 0
[rψ,r] = (1/2)[∂r(grψ) + ∂ψ(grr) − ∂r(grψ)] = 0
[rψ,ψ] = (1/2)[∂r(gψψ) + ∂ψ(grψ) − ∂ψ(grψ)] = −r
[rψ,ω] = (1/2)[∂r(gωψ) + ∂ψ(grω) − ∂ω(grψ)] = 0
[rω,t] = (1/2)[∂r(gtω) + ∂ω(grt) − ∂t(grω)] = 0
[rω,r] = (1/2)[∂r(grω) + ∂ω(grr) − ∂r(grω)] = 0
[rω,ψ] = (1/2)[∂r(gψω) + ∂ω(grψ) − ∂ψ(grω)] = 0
[rω,ω] = (1/2)[∂r(gωω) + ∂ω(grω) − ∂ω(grω)] = −rsin2ψ
[ψt,t] = (1/2)[∂ψ(gtt) + ∂t(gψt) − ∂t(gψt)] = 0
[ψt,r] = (1/2)[∂ψ(grt) + ∂t(gψr) − ∂r(gψt)] = 0
[ψt,ψ] = (1/2)[∂ψ(gψt) + ∂t(gψψ) − ∂ψ(gψt)] = 0
[ψt,ω] = (1/2)[∂ψ(gωt) + ∂t(gψω) − ∂ω(gψt)] = 0
[ψr,t] = (1/2)[∂ψ(gtr) + ∂r(gψt) − ∂t(gψr)] = 0
[ψr,r] = (1/2)[∂ψ(grr) + ∂r(gψr) − ∂r(gψr)] = 0
[ψr,ψ] = (1/2)[∂ψ(gψr) + ∂r(gψψ) − ∂ψ(gψr)] = −r
[ψr,ω] = (1/2)[∂ψ(gωr) + ∂r(gψω) − ∂ω(gψr)] = 0
[ψψ,t] = (1/2)[∂ψ(gtψ) + ∂ψ(gψt) − ∂t(gψψ)] = 0
[ψψ,r] = (1/2)[∂ψ(grψ) + ∂ψ(gψr) − ∂r(gψψ)] = r
[ψψ,ψ] = (1/2)[∂ψ(gψψ) + ∂ψ(gψψ) − ∂ψ(gψψ)] = 0
[ψψ,ω] = (1/2)[∂ψ(gωψ) + ∂ψ(gψω) − ∂ω(gψψ)] = 0
[ψω,t] = (1/2)[∂ψ(gtω) + ∂ω(gψt) − ∂t(gψω)] = 0
[ψω,r] = (1/2)[∂ψ(grω) + ∂ω(gψr) − ∂r(gψω)] = 0
[ψω,ψ] = (1/2)[∂ψ(gψω) + ∂ω(gψψ) − ∂ψ(gψω)] = 0
[ψω,ω] = (1/2)[∂ψ(gωω) + ∂ω(gψω) − ∂ω(gψω)] = r2sinψcosψ
[ωt,t] = (1/2)[∂ω(gtt) + ∂t(gωt) − ∂t(gωt)] = 0
[ωt,r] = (1/2)[∂ω(grt) + ∂t(gωr) − ∂r(gωt)] = 0
[ωt,ψ] = (1/2)[∂ω(gψt) + ∂t(gωψ) − ∂ψ(gωt)] = 0
[ωt,ω] = (1/2)[∂ω(gωt) + ∂t(gωω) − ∂ω(gωt)] = 0
[ωr,t] = (1/2)[∂ω(gtr) + ∂r(gωt) − ∂t(gωr)] = 0
[ωr,r] = (1/2)[∂ω(grr) + ∂r(gωr) − ∂r(gωr)] = 0
[ωr,ψ] = (1/2)[∂ω(gψr) + ∂r(gωψ) − ∂ψ(gωr)] = 0
[ωr,ω] = (1/2)[∂ω(gψω) + ∂r(gωω) − ∂ω(gωr)] = −rsin2ψ
[ωψ,t] = (1/2)[∂ω(gtψ) + ∂ψ(gωt) − ∂t(gωψ)] = 0
[ωψ,r] = (1/2)[∂ω(grψ) + ∂ψ(gωr) − ∂r(gωψ)] = 0
[ωψ,ψ] = (1/2)[∂ω(gψψ) + ∂ψ(gωψ) − ∂ψ(gωψ)] = 0
[ωψ,ω] = (1/2)[∂ω(gωψ) + ∂ψ(gωω) − ∂ω(gωψ)] = r2sinψcosψ
[ωω,t] = (1/2)[∂ω(gtω) + ∂ω(gωt) − ∂t(gωω)] = 0
[ωω,r] = (1/2)[∂ω(grω) + ∂ω(gωr) − ∂r(gωω)] = rsin2ψ
[ωω,ψ] = (1/2)[∂ω(gψω) + ∂ω(gωψ) − ∂ψ(gωω)] = r2sinψcosψ
[ωω,ω] = (1/2)[∂ω(gωω) + ∂ω(gωω) − ∂ω(gωω)] = 0
Per i soli simboli non nulli calcoliamo gli equivalenti simboli di secondo grado, gli unici che saranno non nulli.
Γkij = glk[ij,k]
I componenti del tensore metrico controvariante sono i reciproci dei componenti covarianti.
gtt = 1/ev; grr = −1/eλ; gψψ = −1/r2 gωω = −1/r2sin2ψ
Procediamo con il calcolo ricordando la simmetria Γkij=Γkji
Γrtt = gtr[tt,r] + grr[tt,r] + gψr[tt,r] + gωr[tt,r]
= 0[−(1/2)evv'] + (−1/eλ)[−(1/2)evv'] + 0[−(1/2)evv'] + 0[−(1/2)evv']
= (1/2)ev−λv'
Γttr = gtt[tr,t] + grt[tr,t] + gψt[tr,t] + gωt[tr,t]
= (1/ev)[(1/2)evv'] + 0[(1/2)evv'] + 0[(1/2)evv'] + 0[(1/2)evv']
= (1/2)v'
Γtrt = (1/2)v'
Γrrr = gtr[rr,r] + grr[rr,r] + gψr[rr,r] + gωr[rr,r]
= 0[−(1/2)eλλ'] + (−1/eλ)[−(1/2)eλλ'] + 0−(1/2)eλλ'] + 0[−(1/2)eλλ']
= (1/2)λ'
Γψrψ = gtψ[rψ,ψ] + grψ[rψ,ψ] + gψψ[rψ,ψ] + gωψ[rψ,ψ]
= 0[−r] + 0[−r] + (−1/r2)[−r] + 0[−r]
= 1/r
Γψψr = 1/r
Γrψψ = gtr[ψψ,r] + grr[ψψ,r] + gψr[ψψ,r] + gωr[ψψ,r]
= 0[r] + (−1/eλ)[r] + 0[r] + 0[r]
= −re−λ
Γωrω = gtω[rω,ω] + grω[rω,ω] + gψω[rω,ω] + gωω[rω,ω]
= 0[−rsin2ψ] + 0[−rsin2ψ] + 0[−rsin2ψ] + (−1/r2sin2ψ)[−rsin2ψ]
= 1/r
Γωωr = 1/r
Γωψω = gtω[ψω,ω] + grω[ψω,ω] + gψω[ψω,ω] + gωω[ψω,ω]
= 0[r2sinψcosψ] + 0[r2sinψcosψ] + 0[r2sinψcosψ] + (−1/r2sin2ψ)[r2sinψcosψ]
= cosψ/sinψ = cotψ
Γωωψ = cotψ
Γrωω = gtr[ωω,r] + grr[ωω,r] + gψr[ωω,r] + gωr[ωω,r]
= 0[rsin2ψ] + (−1/eλ)[rsin2ψ] + 0[rsin2ψ] + 0[rsin2ψ]
= −re−λsin2ψ
Γψωω = gtψ[ωω,ψ] + grψ[ωω,ψ] + gψψ[ωω,ψ] + gωψ[ωω,ψ]
= 0[r2sinψcosψ] + 0[r2sinψcosψ] + (−r2)[r2sinψcosψ] + 0[r2sinψcosψ]
= −sinψcosψ
Abbiamo ora gli elementi, i simboli di Christoffel di seconda specie, per calcolare il tensore di Ricci. Calcoliamolo nello spazio vuoto dove è presente la materia e il tensore energia-impulso kT delle equazioni di Einstein è nullo.
Rhj − (1/2)Rghj = 0
Dato che R=ghjRhj possiamo adottare la contrazione:
ghjRhj − (1/2)Rghjghj = 0
R − (1/2)R4 = 0
R = 0
Consegue che l'equazioni di Einstein nel vuoto rispondono alla forma nulla del tensore di Ricci.
Rhj = 0
Questo non significa assenza di curvatura. Ricordiamo che se Ricci è nullo, per il tensore di Weyl non lo deve essere anche il tensore di curvatura di Riemann. Quindi lo spazio può contenere ancora una geometria curva. Se per esempio la curvatura radiale è pari e opposta alla curvatura trasversale la loro contrazione in Ricci porta a una compensazione che restituisce un tensore nullo anche in presenza di curvatura.
Rhkij ≠ 0
Rkj = ∂iΓijk − ∂jΓiik + ΓijkΓmim − ΓijmΓmik = 0
Una metrica diagonale come quella Minkowski o di Schwarzschild significa che le dimensioni dello spazio sono tra loro indipendenti.
La curvatura è quindi da ricercare in dipendenza di queste prese singolarmente e non in combinazione. Calcoliamo quindi
il tensore di Ricci solo nei casi con indici coincidenti.
Iniziamo a ricercare Rtt ponendo k,j=t
Rtt = ∂iΓitt − ∂tΓiit + ΓittΓmim − ΓitmΓmit = 0
Vediamo subito come il secondo addendo, ∂tΓiit, per la posta indipendenza
della metrica dal tempo è sempre nullo e può quindi essere tralasciato.
Analizziamo ∂iΓitt che ci porta a porre i=r, l'unico valore
che rende non nullo il simbolo di Christoffel. Per tutti gli altri indici ci troviamo ad avere sia il primo che il secondo
addendo del tensore nulli. Questo evento comporta che il tensore non risponde più alla geometria dello spazio, ma alla sola
connessione algebrica dei campi vettoriali.
Sostituiamo quindi i con r nel primo termine e calcoliamo ∂rΓrtt.
∂rΓrtt = ∂r(1/2)ev−λv' = (1/2)(ev−λ)(v" + (v'−λ')v')
Proseguiamo cercando il valore del simbolo Γmim espandendo la sommatoria sull'indice i poi m. Prendiamo il valore dei simboli già calcolato in precedenza.
Γmtm = Γttt + Γrtr + Γψtψ + Γωtω = 0
Γmrm = Γtrt + Γrrr + Γψrψ + Γωrω = (1/2)v' + (1/2)λ' + 1/r + 1/r
Γmψm = Γtψt + Γrψr + Γψψψ + Γωψω = 0
Γmωm = Γtωt + Γrωr + Γψωψ + Γωωω = 0
Troviamo valori non nulli per i=r. Moltiplichiamo allora il termine non nullo Γmrm per il fattore Γrtt
ΓrttΓmrm = [(1/2)ev−λv'][(1/2)v' + (1/2)λ' + 2/r]
Espandiamo anche le sommatorie dell'ultimo termine ΓitmΓmit.
ΓttmΓmtt = ΓtttΓttt + ΓttrΓrtt + ΓttψΓψtt + ΓttωΓωtt = 0 + (1/2)v'(1/2)ev−λv' + 0 + 0
ΓrtmΓmrt = ΓrttΓtrt + ΓrtrΓrrt + ΓrtψΓψrt + ΓrtωΓωrt = (1/2)ev−λv'(1/2)v' + 0 + 0 + 0
ΓψtmΓmψt = ΓψttΓtψt + ΓψtrΓrψt + ΓψtψΓψψt + ΓψtωΓωψt = 0 + 0 + 0 + 0
ΓωtmΓmωt = ΓωttΓtωt + ΓωtrΓrωt + ΓωtψΓψωt + ΓωtωΓωωt = 0 + 0 + 0 + 0
ΓitmΓmit = (1/2)v'ev−λv'
Raccogliamo i valori trovati nel tensore di Ricci.
Rtt = (1/2)(ev−λ)(v" + (v'−λ')v') + [(1/2)ev−λv'][(1/2)v' + (1/2)λ' + 2/r] − (1/2)ev−λv'2 = 0
Rtt = [(1/2)ev−λ][v" + v'2 − v'λ' + (1/2)v'2 + (1/2)v'λ' + 2v'/r − v'2] = 0
Rtt = [(1/2)ev−λ][v" + (1/2)v'2 − (1/2)v'λ' + 2v'/r] = 0
Dato che è sempre verificato (1/2)ev−λ≠0 abbiamo come valore finale:
Rtt = v" + (1/2)v'2 − (1/2)v'λ' + 2v'/r = 0
Passiamo a calcolare Rrr
Rrr = ∂iΓirr − ∂rΓiir + ΓirrΓmim − ΓirmΓmir = 0
Il primo membro ∂iΓirr ammette valore non nullo del simbolo di Christoffel solo nel caso di i=r
∂iΓrrr = ∂i(1/2)λ' = (1/2)λ"
Il secondo addendo ∂rΓiir è da espandere su i.
∂rΓiir = ∂rΓttr + ∂rΓrrr + ∂rΓψψr + ∂rΓωωr
∂rΓiir = ∂r(1/2)v' + ∂r(1/2)λ' + ∂r(1/r) + ∂r(1/r)
∂rΓiir = (1/2)v" + (1/2)λ" − 2/r2
Il terzo termine ΓirrΓmim è non nullo per i=r
ΓrrrΓmrm = Γrrr(Γtrt + Γrrr + Γψrψ + Γωrω)
ΓrrrΓmrm = (1/2)λ'((1/2)v' + (1/2)λ' + 2/r)
Per il quarto addendo ΓirmΓmir espandiamo la sommatoria su i e su m.
ΓtrmΓmtr = ΓtrtΓttr + ΓtrrΓrtr + ΓtrψΓψtr + ΓtrωΓωtr = (1/2)v'(1/2)v' + 0 + 0 + 0
ΓrrmΓmrr = ΓrrtΓtrr + ΓrrrΓrrr + ΓrrψΓψrr + ΓrrωΓωrr = 0 + (1/2)λ'(1/2)λ' + 0 + 0
ΓψrmΓmψr = ΓψrtΓtψr + ΓψrrΓrψr + ΓψrψΓψψr + ΓψrωΓωψr = 0 + 0 + (1/r)(1/r) + 0
ΓωrmΓmωr = ΓωrtΓtωr + ΓωrrΓrωr + ΓωrψΓψωr + ΓωrωΓωωr = 0 + 0 + 0 + (1/r)(1/r)
ΓirmΓmir = (1/4)v'2 + (1/4)λ'2 + 2/r2
Sommiamo tutti i risultati dei termini del tensore.
Rrr = (1/2)λ" − ((1/2)v" + (1/2)λ" − 2/r2) + (1/2)λ'((1/2)v' + (1/2)λ' + 2/r) −
((1/4)v'2 + (1/4)λ'2 + 2/r2) = 0
Rrr = λ" − v" − λ" + 4/r2 + λ'((1/2)v' + (1/2)λ' + 2/r) − (1/2)v'2 − (1/2)λ'2 − 4/r2 = 0
Rrr = − v" + (1/2)v'λ' + (1/2)λ'2 + 2λ'/r − (1/2)v'2 − (1/2)λ'2 = 0
Rrr = v" + (1/2)v'2 − (1/2)v'λ' + 2λ'/r = 0
Potremmo risolvere anche Rψψ e Rωω, ma da che abbiamo due funzioni incognite, v e λ, sono sufficienti due equazioni differenziali, Rtt e Rrr, per ottenere la loro relazione.
Rtt = v" + (1/2)v'2 − (1/2)v'λ' + 2v'/r = 0
Rrr = v" + (1/2)v'2 − (1/2)v'λ' − 2λ'/r = 0
Sottraendo le due equazioni troviamo:
2v'/r + 2λ'/r = 0
v' + λ' = 0 = (v + λ)' = 0
v' = − λ'
Avendo ottenuto (v + λ)' = 0 significa che v + λ è una costante. Le due funzioni sono entrambe uno scalare. Per determinarne il valore abbiamo bisogno di un'ulteriore equazione.
Risolviamo Rψψ
Rψψ = ∂iΓiψψ − ∂ψΓiiψ + ΓiψψΓmim − ΓiψmΓmiψ = 0
Il primo termine ha valore non nullo solo se i=r.
∂rΓrψψ = ∂r−re−λ
∂rΓrψψ = −e−λ + re−λλ'
Il secondo addendo ha valore non nullo con i=ω.
∂ψΓωωψ = ∂ψcotψ
∂ψΓωωψ = −1/sin2ψ
Il terzo addendo è significativo solo per i=r
ΓrψψΓmrm = Γrψψ(Γtrt + Γmrm + Γψrψ + Γωrω
ΓrψψΓmrm = −er−λ((1/2)v' + (1/2)λ' + 2/r)
Nel quarto termine troviamo non nulle le combinazioni:
ΓrψψΓψrψ = −er−λ/r
ΓωψωΓωωψ = cot2ψ
ΓiψmΓmiψ = −e−λ + cot2ψ
Sommiamo i quattro termini.
Rψψ = −e−λ + re−λλ' − (−1/sin2ψ) + (−er−λ((1/2)v' + (1/2)λ' + 2/r) − (−e−λ + cot2ψ) = 0
Rψψ = re−λλ' − (1/2)er−λv' − (1/2)er−λλ' − 2e−λ + e−λ + (sin2ψ + cos2ψ)/sin2ψ − cos2ψ/sin2ψ = 0
Rψψ = (1/2)re−λλ' − (1/2)er−λv' − e−λ + 1 = 0
Rψψ = 1 − e−λ(1 + (1/2)rλ' − (1/2)rv') = 0
In questa equazione applichiamo la sostituzione −λ' a v' nella Rrr.
1 − e−λ(1 + (1/2)rλ' + (1/2)rλ') = 0
e−λ(1 + rλ') = 1
e−λ = 1 − re−λλ'
Avendo trovato che λ è uno scalare lo sarà anche e−λλ'. Scriviamo quindi:
e−λ = 1 + C/r
Da questa identità scriviamo le funzioni incognite della metrica di Schwarzschild.
ev = 1 + C/r
eλ = (1 + C/r)−1
Inseriamo i valori nella metrica di Schwarzschild.
ds2 = (1 + C/r)c2dt2 − (1 + C/r)−1dr2 − r2dψ2 − r2sin2ψdω2
Ricaviamo che in tale metrica:
gtt = 1 + C/r
grr = −(1 + C/r)−1
La metrica per spostamenti temporali e radiali dipende in ragione inversa rispetto alla distanza radiale r.
Si può affermare che allontanandosi dalla massa generatrice del campo il suo effetto sulla curvatura si riduce. Il che descrive
correttamente il comportamento del potenziale di un campo gravitazionale. Al limite portandosi a una distanza r⟶∞,
dove poniamo la gravità esercitata dalla massa sia nulla, i componenti gtt,grr⟶1,
andando a descrivere in coordinate polari la metrica piatta di Minkowski.
Una seconda importante considerazione arriva confrontando il valore del componente temporale del tensore metrico con quello
generalizzato trovato nell'analisi delle equazioni di Einstein che al limite newtoniano approssimano uno spazio di Minkowski.
gtt = 1 + C/r
g00 = 1 + 2Φ/c2
Per questo confronto ci dobbiamo porre a una distanza dalla massa tale da rendere trascurabile l'effetto gravitazionale e quindi la curvatura o considerando una massa infinitesima che generi un campo gravitazionale molto debole. Essendo il potenziale del campo gravitazionale newtoniano espresso come: Φ=-GM/r per sostituzione abbiamo:
2Φ/c2 = 2GM/rc22
Uguagliando gtt=g00 otteniamo C=-2GM/c2. La metrica di Schwarzschild risulta essere esprimibile nel limite newtoniano come:
ds2 = (1 - 2GM/rc2)c2dt2 − (1 - 2GM/rc2)−1dr2 − r2dψ2 − r2sin2ψdω2
Dato che sia c che G sono delle costanti fisiche abbiamo che la metrica, quindi la curvatura dello spazio) è dettata dalla massa M e dalla distanza r. Al fine di rendere più visibile questa dipendenza, approfittando della presenza di costanti, possiamo adottare una particolare misura della massa: m=GM/c2. Questo ci permette di scrivere:
ds2 = (1 - 2m/r)c2dt2 − (1 - 2m/r)−1dr2 − r2dψ2 − r2sin2ψdω2
Essendo C uno scalare, ed infatti tutti i termini che lo identificano sono delle costanti (2,m,M,G,c), dobbiamo porre la sua invarianza anche allontanandosi dal limite newtoniano. Le equivalenze C=-2m C=-2GM/c2 sono quindi da considerarsi sempre vere.
Come sappiamo le geodetiche si ricavano risolvendo l'equazione variazionale.
δ⎰ds = 0
Per semplificare i calcoli successivi adottiamo la semplificazione: ds=(ds2/ds2)ds cosa che ci permette di rimuovere la radice quadrata e di avere come integrando una derivata.
δ⎰[(evc2dt2 − eλdr2 − r2dψ2 − r2sin2ψdω2)/ds2]ds = 0
δ⎰[evc2(dt/ds)2 − eλ(dr/ds)2 − r2(dψ/ds)2 − r2sin2ψ(dω/ds)2]ds = 0
Grazie alla sostituzione adottata viene rispettata la seguente identità:
ds2/ds2 = evc2(dt/ds)2 − eλ(dr/ds)2 − r2(dψ/ds)2 − r2sin2ψ(dω/ds)2
1 = evc2(dt/ds)2 − eλ(dr/ds)2 − r2(dψ/ds)2 − r2sin2ψ(dω/ds)2
evc2(dt/ds)2 − eλ(dr/ds)2 − r2(dψ/ds)2 − r2sin2ψ(dω/ds)2 − 1 = 0
Data la pari condizione di nullità possiamo sostituire questa espressione e quella integrale. Riprendendo i valori trovati di ev e eλ si può scrivere la stessa come:
(1 − 2m/r)c2(dt/ds)2 − (1 − 2m/r)−1(dr/ds)2 − r2[(dψ/ds)2 + sin2ψ(dω/ds)2] − 1 = 0
L'equazione può essere considerata una funzione di Eulero-Lagrange su ds.
d ∂L ∂L
——(—————) − —— = 0
ds ∂q/∂s ∂q
L = (1 − 2m/r)c2(dt/ds)2 − (1 − 2m/r)−1(dr/ds)2 − r2[(dψ/ds)2 + sin2ψ(dω/ds)2
Calcoliamo la funzione con q=t. Solo il primo addendo contiene la variabile di derivazione (dt/ds) mentre nessuno contiene la variabile di derivazione t.
d ∂(1 − 2m/r)c2(dt/ds)2 ∂L
——( ———————————————————— ) − —— = 0
ds ∂t/∂s ∂t
d
—— 2(1 − 2m/r)c2(dt/ds) − 0 = 0
ds
Nella formula abbiamo come variabile dt/ds e non s. La derivata è quindi nulla. Il suo argomento deve perciò essere una costante. Fermandoci quindi a questo e raccogliendo a destra dell'uguaglianza i fattori costanti abbiamo l'espressione finale.
2(1 − 2m/r)c2(dt/ds) = cost
(1 − 2m/r)(dt/ds) = cost
