Il contributo di Einstein fu di raccogliere le evidenze sperimentali e le risultanze teoriche dell'elettromagnetismo e di
infonderle nella teoria della relatività di Galileo.
Il dover considerare la velocità della luce nel vuoto una grandezza assoluta impose "per compensazione" che
altre grandezze, prima considerate assolute diventassero relative al sistema di riferimento.
Quello che ne risultò fu una nuova teoria della relatività. Matematicamente tale modifica consistette nell'inserimento
nelle leggi di trasformazione di un preciso fattore.
Analizziamo la proprietà del fattore presente nelle trasformazioni di Lorentz relative a sistemi di riferimento inerziali. Consideriamoli in una conformazione x-standard.
┌
│ x' = γ(x − βct)
│
│ y' = y
│
│ z' = z
│
│ t' = γ(t − (β/c)x)
└
1
γ = —————————————
(1 - v2/c2)1/2
che possiamo ugualmente scrivere utilizzando la velocità romeriana.
v
β = ———
c
1
γ = ——————————
(1 - β2)1/2
Nel fattore è presente la costante c e una sola variabile v che rappresenta la velocità relativa tra
i sistemi di riferimento R e R'. Essa è presente anche nelle trasformazioni di Galileo:
x'=x−vt.
Il valore che il fattore viene ad assumere dipende esclusivamente dalla variabile v. Per comprendere come questa
influisca su γ creiamo una tabella di comparazione dalla quale comprendiamo che γ è sempre positivo in un
intervallo [1, ∞).
| v | β | γ |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 10 | 0 | 1 |
| 103 | 0 | 1 |
| 106 | 0.003 | 1 |
| 108 | 0.333 | 1.06 |
| 2.9×108 | 0.967 | 3.94 |
| 2.99×108 | 0.997 | 13.7 |
| 299,792,000 | 0.999997 | 572.7 |
| 299,792,457 | 1 | IND |
La prima osservazione è che v≥c non è una condizione possibile. Si otterrebbe nel fattore di Lorentz
un valore nullo a denominatore o negativo sotto radice. Se si vuole rimanere nell'insieme dei numeri reali le bisogna
imporre che la velocità relativa tra due sistemi di riferimento sia sempre minore della velocità della luce nel vuoto.
Dato che un sistema di riferimento non astratto, si struttura sempre su un corpo rigido, dotato di massa, che ne assume
il ruolo di origine degli assi, possiamo affermare che per qualsiasi massa vale la restrizione della sua velocità
massima.
Possiamo ipotizzare particelle aventi velocità nel vuoto superiore della luce (i tachioni) se si accettano valori
nell'immaginario per il denominatore del fattore di Lorentz. Resta esclusa la possibilità di particelle aventi che
partendo da velocità sub-luminari (a valoro reali) possano essere accelerate oltre la velocità della luce (a valori
immaginari).
La costante c è il limite massimo, non raggiungibile, di velocità per una massa.
v < c
All'opposto se la velocità relativa dei due sistemi di riferimento è nulla, i due sistemi sono reciprocamente in stato di quiete. I nostri parametri assumono i valori: v=0, β=0 e γ=1. Questi valori portano le trasformazioni di Lorentz a diventare delle identità x'=x e t'=t del tutto uguali a quelle che si otterrebbero con le trasformazioni di Galileo. Queste risultano quindi essere un caso particolare delle più generali trasformazioni di Lorentz.
Alla base delle trasformazioni di Lorentz abbiamo postulato la velocità c costante. Il modello matematico
che ne è conseguito è vincolato a questo valore, ma non all'effetto che viaggia a tale velocità. Potremmo applicare le
trasformazioni anche a onde gravitazionali, interazioni forti, ecc. a tutto ciò che similmente alle onde
elettromahnetiche è trasporto di sola energia.
La costante c esprime la velocità invariante di propagazione nel vuoto delle interazioni senza trasporto
di massa.
Consideriamo le coordinate delle equazioni di Lorentz non come valori puntiformi, ma come delta rispetto a un valore di origine che può essere l'origine O e il tempo zero: T0. Otteniamo:
┌
│ Δx' = γ(Δx − βcΔt)
│
│ Δy' = Δy
│
│ Δz' = Δz
│
│ Δt' = γ(Δt − (β/c)Δx)
└
Definiamo come equilocati due eventi aventi le stesse coordinate spaziali, ossia x1=x2,
y1=y2, z1=z2.
Sono considerati simultanei due eventi con uguale coordinata temporale: T1=T2.
Poniamo uno di questi eventi posto in O al tempo T0. Questo permette di esprimere
l'equilocazione con un altro evento avente coordinate x,y,z,t come Δx=0, Δy=0, Δz=0 e la
simultaneità come ΔT=0.
Due eventi equilocati e simultanei nel sistema di riferimento R sono percepiti, come descritto dalle leggi di
trasformazione, equilocati e simultanei anche da un sistema esterno R'.
┌
│ Δx' = γ(0 − βc0) = 0
│
│ Δy' = 0
│
│ Δz' = 0
│
│ Δt' = γ(0 − (β/c)0) = 0
└
Anche ponendo Δy≠0, Δz≠0, quindi considerando due eventi posti sullo stesso piano ortogonale all'asse
delle ascisse, tra i due sistemi non si avrà una diversa percezione dell'equiposizione e della simultaneità.
Le percezioni cambiano se prendiamo due eventi simultanei, ma posizionali diversamente in R rispetto alla
coordinata x. Abbiamo in questo caso solo Δt=0. Da un sistema R' rileviamo che:
│ Δx' = γΔx ≠ 0
│
│ Δy' = Δy ≠ 0
│
│ Δz' = Δz ≠ 0
│
│ Δt' = −γ(β/c)Δx ≠ 0
└
I due eventi dal sistema R' continuano ad essere percepiti non equiposizionati. La differenza è che non
vengono qui percepiti come simultanei.
L'attributo di simultaneità non è assoluto, se affermato per un sistema inerziale non significa che lo sia anche
in un altro sistema inerziale.
Possiamo estremizzare questa discordanza nella percezione della simultaneità fino ad affermare la possibilità che un
sistema inerziale percepisca in modo inverso la sequenza temporale dell'accadimento di due eventi di un altro sistema.
Poniamo due eventi, A e B che accadono nel sistema R ai tempi tA e
tB, con tA < tB. Quindi prima accade A poi B.
Da un sistema inerziale R' esterno agli eventi avremo date le trasformazioni di Lorentz:
t'A = γ(tA − (β/c)xA)
t'B = γ(tB − (β/c)xB)
Avremmo una inversione dell'ordine temporale dei due eventi in R' se: t'B < t'A. In questo caso potremmo scrivere:
γ(tB − (β/c)xB) < γ(tA − (β/c)xA)
tB − tA < (β/c)xB − (β/c)xA =
(β/c)(xB − xA)
Il termine xB − xA rappresenta la distanza spaziale tra i due eventi. Se la moltiplichiamo per la velocità c otteniamo la misura del tempo tra i due eventi. Scriviamo quindi:
tB − tA < (β/c)(xB − xA)
tB − tA < βtAB
L'ordine degli eventi in R ricordiamo essere tB > tA ossia:
tB − tA > 0
Essendo un intervallo temporale anche tAB>0. Possiamo quindi scrivere:
tB − tA
0 < ——————— < 1
TAB
La velocità romaniana β si caratterizza per assumere valori nello stesso intervallo [0,1]. Esiste quindi una velocità v che se applicata a β rende valida la seguente disequazione:
tB − tA
0 < ——————— < β < 1
tAB
Si trova quindi verificata la condizione affinché in un sistema non solidale con gli eventi possa essere percepito un ordine di accadimento invertito. Essendo β<1 possiamo senza errore affermare che:
TB − TA < βtAB
Affinché in un sistema di riferimento inerziale esterno possa essere percepito un ordine invertito nell'accadimento di due eventi la distanza temporale tra l'accadere dell'uno e poi dell'altro deve essere inferiore a quella necessaria alla luce nel vuoto per coprire la distanza che li separa.
Assumere la velocità della luce nel vuoto come costante porta a una concezione del tempo diversa da quella che sperimentiamo quotidianamente. Per comprendere questa nuova idea di tempo facciamo un esperimento mentale. Immaginiamo un sistema di riferimento inerziale R' nel quale sia posta una sorgente luminosa A posta in modo tale da emettere un raggio di luce nella direzione y del sistema di riferimento. Il raggio nel suo percorso verticale incontra uno specchio B che riflette il raggio all'indietro verso la sorgente. A e B sono in quiete rispetto a R'. Se poniamo l0=AB la distanza tra i due elementi e t il tempo impiegato a percorrerla, utilizzando il valore conosciuto della velocità della luce nel vuoto, possiamo calcolare la distanza tra i due elementi.
s' = cτ
Abbiamo denominiamo con τ il tempo proprio ossia il tempo misurato da un orologio solidale
con il sistema di riferimento nel quale accadono gli eventi oggetto di osservazione.
Osserviamo ora il moto del raggio da un secondo sistema inerziale R rispetto al quale R' appare in moto
alla velocità v nella direzione x. Per R anche l'apparato AB appare dotato dello stesso moto.
Questo rende il percorso del raggio di luce se osservato da R non più verticale, ma diagonale, essendosi aggiunta
la componente del moto del sistema R'. La distanza percorsa l è data dal teorema di Pitagora applicato al
triangolo disegnato dal raggio di luce ascendente (o discendente) e dalla traslazione di A per il tempo t.
s2 = (ct)2 = l'2 + (vt)2
(ct)2 = (cτ)2 + (vt)2
t2 = τ2 + (vt/c)2
t2 − (vt/c)2 = t'p2
t2(1 − v/c)2 = t'p2
t = τ/(1 − v/c)1/2
La differenza di percezione è quantificata nel fattore di Lorentz. Essendo questo sempre maggiore o uguale a uno, il tempo misurato in R è sempre maggiore rispetto a quanto misurato nel sistema R' solidale all'evento osservato.
t = γτ
t ⩾ τ
Il medesimo risultato è matematicamente ottenibile attraverso la legge di trasformazione della coordinata temporale di Lorentz, ponendo di misurare il tempo tra di due eventi accaduti in uno stesso luogo nel sistema solidale ad essi, ossia con Δxp=0.
Δt = γ(Δτ + βΔxp)
Δt = γΔτ
Dato che il valore del fattore di Lorentz cresce al crescere di v deduciamo che più un sistema è visto muoversi
velocemente più il tempo in esso è percepito rallentato se confrontato al tempo del sistema di osservazione.
La differenza tra il tempo proprio e il tempo osservato in un sistema non solidale è nulla se i due sistemi sono in quiete
reciproca, mentre taggiunge il limite massimo con v⟶c e γ⟶∞.
τ = t/∞ = 0
A velocità relative prossime a c il tempo in R' (luogo degli eventi) risulta tendere ad arrestarsi
rispetto al tempo di un sistema di osservazione R.
Il tempo proprio assume il valore massimo tra tutti i valori ottenibili nei vari sistemi di riferimento.
Importante notare che invertendo i ruoli, se da R' osservassimo gli eventi in R troveremmo che è in
quest'ultimo che il tempo è visto scorrere più lentamente. Infatti anche se la legge di trasformazione e la sua inversa
differiscono per il termine ±βcΔx questo è zero in entrambi i casi avendo assunto che gli eventi accadano
nello stesso luogo.
Calcoliamo la lunghezza di un regolo in moto lungo l'asse x misurando il tempo trascorso tar il passaggio delle
sue estremità sotto un rilevatore. Poniamo che l'oggetto si trovi nel sistema R e il rilevatore nel sistema R'.
Il moto del regolo è quindi dato dal moto relativo dei due sistemi che poniamo avvenga sempre lungo x con una
velocità di traslazione v.
Misurando da R' il regolo viene visto passare sotto il rilevatore fermo a velocità −v.
s' = |v|Δτ
Poniamoci ora nel sistema R dove sopra il regolo fermo si vede scorrere il rilevatore a velocità v. Misuriamo qui la distanza nel medesimo modo:
sp = |v|Δt
L'intervallo di tempo trascorso è misurabile attraverso un apparato simile a quello precedente. Una sorgente A
emette un raggio verticale al passaggio della prima estremità del regolo. Si pone sulla verticale uno specchio B
a una distanza tale da far coincidere il ritorno del raggio in A con il passaggio della seconda estremità del
regolo.
In R' essendo il regolo solidale con il sistema il raggio si muove verticalmente, mentre per R a causa del
moto relativo il raggio viene visto muoversi diagonalmente, percorrendo più strada e impiegando più tempo. Ci troviamo
quindi nella condizione:
Δt > Δτ
sp > s'
Nel sistema solidale al regolo viene misurata una lunghezza maggiore rispetto a un altro sistema inerziale in moto
relativo.
Conoscendo la relazione tra tempo proprio (il tempo di R' quello dell'apparato ottico, visto che è il raggio di
luce che stiamo osservando) e tempo relativo abbiamo:
s' = |v|Δτ
s' = |v|Δt/γ
s' = sp/γ
Chiamiamo lunghezza propria l'entità della distanza tra due punti allineati, misurata in un sistema solidale a
questa. La distanza si riduce se misurata da sistemi inerziali in moto relativo. Ne consegue che la lunghezza propria
è il valore massimo valore rilevabile.
Utilizzando le trasformazioni di Lorentz troviamo coerenza con quanto osservato. Una misurazione della lunghezza del
regolo in quiete in R (lunghezza propria) avendo come dati le misurazioni effettuate in R' nel punto
x'0, che significa Δx'=0.
Δxp = γ(Δx' + βcΔτ)
Δxp = γβcΔτ
Δxp = γvΔτ
Δxp = γvΔτ
Δxp = γΔx'
Un risultato identico è ottenibile attraverso la conoscenza in un dato istante, ossia con Δtp=0 della lunghezza propria Δx.
Riprendiamo le funzioni di dilatazione del tempo e contrazione delle lunghezze e osserviamo come sebbene le funzioni di
Lorentz dello spazio e del tempo siano fondamentalmente identiche le relazioni tra spazio proprio e spazio relativo e
tra tempo proprio e tempo relativo sono tra loro inverse. Nel passaggio da un sistema a un altro spazio e tempo propri
si trasformano in modo diverso, lo spazio si contrae e il tempo si dilata (rallenta).
La spiegazione sta nel fatto che questi fenomeni sono percepiti se spazio e tempi propri sono in sistemi differenti.
Dati due sistemi inerziali coincidenti al tempo zero, poniamo in ciascuno un regolo e un orologio identici. Se misurata
la lunghezza propria di un regolo con il tempo proprio del sistema dove si trova il regolo si ottiene un risultato che
date le premesse è uguale in entrambi i sistemi.
La discordanza nelle misurazioni si ha se si misura la distanza propria di un sistema utilizzando il tempo di un altro
sistema o viceversa se si misura il tempo in un altro sistema utilizzando una distanza del proprio sistema.
La distorsione subita nel passaggio da un sistema di coordinate inerziale ad un altro è inverso tra spazio e tempo, ma di
pari entità. Questo permette facendo il prodotto di spazio e tempo di ottenere un valore invariante al cambio di
coordinate.
Δxp = γΔxr
γΔτ = Δtr
Moltiplicando tra loro i termini appartenenti allo stesso sistema otteniamo:
Δxp × γΔτ = γΔxr × Δtr
