Trasformazioni di Lorentz

Le leggi dell'elettromagnetismo hanno introdotto nella fisica una nuova costante: la velocità della luce. Questa invarianza rende inapplicabile la legge della composizione delle velocità nei sistemi di riferimento inerziali. Consegue che le formule di trasformazione di Galileo che stanno alla base della legge necessitano di essere riviste se applicate alla luce. Alle velocità dei fenomeni normalmente rilevate nella fisica classica le trasformazioni di Galileo continuano a descrivere correttamente la realtà.

Partendo dai risultati di Lorentz che con il suo fattore aveva definito il termine di trasformazione delle coordinate dimensionali relative a fenomeni elettromagnetici, Einstein ne ampliò l'applicazione a ogni fenomeno di meccanica.

Analizziamo il problema in termini matematici. Immaginiamo il moto di un raggio di luce emesso in un sistema di riferimento inerziale R. Un osservatore solidale con il sistema misura la distanza percorsa dal raggio in ct. Geometricamente la stessa distanza è esprimibile in termini pitagorici.

c²t² = x² + y² + z²

Lo stesso raggio osservato da un secondo sistema inerziale R' non solidale con l'emissione del raggio, posta la velocità della luce come costante, percorre in questo sistema una distanza pari a ct' (e non (c±v)t').

c²t'² = x'² + y'² + z'²

La relatività di Galileo si fonda sulla semplice formula della velocità nella quale una diversa percezione della posizione è dovuta a una diversa percezione della velocità:

x = vt ⟷ x' = v't

Nella sua teoria della relatività Einstein comprese che porre la velocità della luce, in sistemi tra loro in moto inerziale, come una costante implica che la diversa percezione della distanza percorsa da uno stesso raggio è dovuta a una diversa percezione del tempo da questo impiegato.

x = ct ⟷ x' = ct'

Cone conseguenza egli abbandonò il postulato del tempo assoluto e lo sostituì con quello dell'invarianza della velocità della luce nel vuoto. Riprendendo le trasformazioni di coordinate tra sistemi inerziali significa fermarsi a un sistema che garantisca uno spazio omogeneo e isotropo. Si ipotizzino sempre sistemi x-standard, coincidenti al tempo t=t' e aventi un moto relativo direzionato sull'asse x.

┌
│ x' = a₁₁(x − vt)
│
│ y' = y
│
│ z' = z
│
│ t' = a₄₁x + a₁₁t
└

Osserviamo un raggio di luce da due sistemi inerziali. Abbiamo due formulazioni distinte dello spazio percorso da un raggio di luce. Per semplicità di trattazione manteniamo la condizione che il moto del raggio sia parallelo con il moto relativo dei sistemi di riferimento ossia avvenga lungo la direzione x.

┌
│ c²t² − x² = 0
│
│ c²t'² − x'² = 0
└

Applichiamo le formule di trasformazione alla seconda formula in modo da avere entrambe le equazioni espresse nelle stesse coordinate.

c²t'² − x'² = 0

c²(a₄₁x + a₁₁t)² − (a ₁₁(x − vt))² = 0

(a₄₁cx)² + (a₁₁ct)² + 2a₄₁a₁₁cxt − (a₁₁x)² − (a₁₁vt)² + 2a₁₁xvt = 0

(c²a₁₁² − a₁₁²v²)t² − (a₁₁² − c²a₄₁²)x² + 2a₁₁(a₁₁v + c ²a₄₁)xt = 0

Cerchiamo nei coefficienti una soluzione che permetta di passare dalla formula espressa in R' a quella in R. Le soluzioni trovate potranno poi essere riportate nel sistema lineare di trasformazione delle coordinate in modo da ottenere un sistema coerente con il postulato dell'invarianza della velocità della luce nel vuoto.

(c²a₁₁² − a₁₁²v²)t² − (a₁₁² − c²a₄₁²)x² + 2a₁₁(a₁₁v + c²a₄₁)xt ⟶ c²t² − x²

Appare immediato che otteniamo un uguaglianza delle due espressioni alle seguenti condizioni:

┌
│ c²a₁₁² − a₁₁²v ² = c²
│
│ a₁₁² − c²a₄₁² = 1
│
│ a₁₁v + c²a₄₁ = 0
└

Risolviamo il sistema per ottenere un valore per ogni coefficiente presente.
Cerchiamo a₁₁² nella prima equazione e sostituiamo il valore nelle altre due.

a₁₁² = c²/(c² − v²) = 1/(1 − v²/c²)

L'espressione qui trovata risulta essere il coefficiente fondamentale delle trasformazioni che andremo a definire. Anche per semplicità espositiva andiamo a indicare con la lettera γ (gamma) il fattore di Lorentz.

1
γ = —————————————
(1 − v²/c²)^1/2

Sostituiamo con γ il termine a₁₁ in una delle altre due equazioni. Utilizziamo la terza, di più immediata soluzione.

γv + c²a₄₁ = 0

a₄₁ = −γv/c²

Volendo trovare a₄₁ utilizzando la seconda equazione è conveniente applicare la sostituzione:

c²/(c² − v²) − c²a₄₁² = 1

Trovati i coefficienti a₁₁ e a₄₁ torniamo al sistema delle trasformazioni e sostituiamo le loro espressioni.

┌
│ x' = γ(x − vt)
│
│ t' = −γxv/c² + γt = γ(t − xv/c²)
└

Abbiamo trovato le leggi di trasformazione di Lorentz. Esse garantiscono l'invarianza della velocità della luce nel vuoto. La loro notazione può essere semplificata utilizzando la velocità romeriana: β = v/c che rappresenta la velocità relativa dei sistemi rispetto alla velocità della luce.

x' = γ(x − (v(c/c)t)

x' = γ(x − βct)

t' = γ(t − xv/c²)

t' = γ(t − βx/c)

┌
│ x' = γ(x − βct)
│
│ t' = γ(t − (β/c)x)
└

Per il principio di relatività e quindi di inesistenza di un sistema di riferimento privilegiato, le funzioni devono essere invertibili. Possiamo considerare il sistema R' in allontanamento da R a velocità v o ugualmente il sistema R in allontanamento da R' a velocità −v. Scambiando x, y, z, t con x', y', z', t' e viceversa e invertendo il segno di v troviamo le equazioni inverse.

┌
│ x = γ(x' + βct)
│
│ t' = γ(t' + (β/c)x)
└

Composizione delle velocità

Da quanto sopra ci aspettiamo che il fattore di Lorentz entri anche nella misurazione della velocità da un sistema di riferimento esterno. Poniamo un corpo che si muova a velocità u nel sistema di riferimento R. Considerando un il sistema R' in moto di trascinamento v_x calcoliamo la velocità osservata da questo per ogni componente direzionale sapendo che dx'/dt'=(dx'/dt)/(dt'/dt).

┌
│        dx'      d[γ(x − vt)]/dt     u_x − v
│ u_x' = ————— = —————————————————— = ——————————
│        dt'    d[γ(t − xv/c²)]/dt 1 − u_xv/c²
│
│
│        dy'         dy/dt                u_y
│ u_y' = ————— = —————————————————— = ————————————
│        dt'    d[γ(t − xv/c²)]/dt γ(1 − u_xv/c²)
│
│
│        dz'         dz/dt                u_z
│ u_z' = ————— = —————————————————— = ————————————
│        dt'    d[γ(t − xv/c²)]/dt γ(1 − u_xv/c²)
└

Verifichiamo che le equazioni rispettino il limite della velocità della luce. Poniamo u_x=c in un sistema di riferimento R. Utilizzando la prima formula dimostriamo che indipendentemente dal valore di v assunto da un sistema di riferimento esterno si ha anche in questo u'_x=c.

c − v
u_x' = ————————— = c
1 − cv/c²

Le leggi di composizione funzionano anche se applicate a fenomeni che ipotizziamo viaggino a velocità superluminali lungo la direzione di trascinamento relativo dei sistemi di riferimento considerati. In questo caso il tempo trascorso tra due eventi, misurato da un sistema esterno sarebbe inferiore a quello impiegato dalla luce. Se il secondo evento fosse conseguenza del primo (ipotizziamo la percezione della luce emessa nel primo evento) si avrebbe l'infrazione del principio di causa effetto. Se vogliamo mantenere questo principio dobbiamo assumere che velocità superiori alla luce non sono ammissibili tra eventi correlati da una relazione di causalità.

Invarianza della funzione d'onda elettromagnetica per trasformazioni di Lorentz

Dimostriamo quanto formulato da Lorentz applicandolo alla funzione di un'onda elettromagnetica, calcolandone la la variazione a seguito di un cambio di coordinate. Ipotizziamo un raggio luminoso in Rche si propaghi nella direzione x. La funzione d'onda è la seguente:

∂²φ 1 ∂²φ
——— + —— ——— = 0
∂x² c² ∂t²

Ogni termine della funzione è la derivata seconda rispetto a una coordinata. Prendiamo per ciascuna la derivata prima e calcoliamo le derivate parziali sulle coordinate del sistema R'. Così facendo ci portiamo sulle coordinate di questo sistema.

∂φ ∂φ ∂x' ∂φ ∂t'
—— = ——— —— + ——— ———
∂x ∂x' ∂x ∂t' ∂x

∂φ ∂φ ∂x' ∂φ ∂t'
—— = ——— —— + ——— ———
∂t ∂x' ∂t ∂t' ∂t

Abbiamo ricavato i termini x', t' che risultano essere argomento di una derivata. Sostituiamo con la derivata delle corrispondenti trasformazioni di Lorentz.

┌
│ dx'/dx = d[γ(x − βct)]/dx = γ
│
│ t'/dx = d[γ(t − (β/c)x)]/dx = −γβ/c
└

┌
│ dx'/dt = d[γ(x − βct)]/dt = −γβc
│
│ t'/dt = d[γ(t − (β/c)x)]/dt = γ
└

∂φ ∂φ ∂φ γβ
—— = ———γ − ——— ——
∂x ∂x' ∂t' c

∂φ ∂φ ∂φ
—— = − ———γβc + ———γ
∂x ∂x' ∂t'

Calcoliamo le derivate seconde essendo queste presenti nella funzione d'onda. Utilizziamo il medesimo procedimento usato per le derivate prime.

∂²φ ∂²φ ∂x' ∂²φ ∂t' γβ ∂²φ ∂x' ∂²φ ∂t'
——— = γ( —————— + —————— —— ) − ——( —————— ——— + —————— )
∂x² ∂x'²∂x ∂x'∂t' ∂x c ∂t'²∂x' ∂x ∂t'²∂x

∂²φ γ²β² ∂²φ γ²β² ∂²φ
= γ² ———— −2———— ————— + ———— —————
∂x'² c ∂x'∂t' c² ∂t'²

∂²φ ∂²φ ∂x' ∂²φ ∂t' ∂²φ ∂x' ∂²φ ∂t'
——— = −γβc( —————— + —————— —— ) + γ( —————— ——— + —————— )
∂x² ∂x'²∂t ∂x'∂t' ∂t ∂t'²∂x' ∂t ∂t'²∂t

∂²φ ∂²φ ∂²φ
= γ²β²c²———— −2γ²βc—————— + γ²—————
∂x'² ∂x'∂t' ∂t'²

Sostituiamo le derivate seconde della funzione d'onda con le soluzioni ottenute risolviamo e ricordando che γ²=(1−β²)⁻¹ ritroviamo la funzione d'onda.

∂²φ γ²β² ∂²φ γ²β² ∂²φ 1 ∂²φ ∂²φ ∂²φ
γ² ———— −2———— ————— + ———— ————— − ——(γ²β²c²———— −2γ²βc—————— + γ²———— )
∂x'² c ∂x'∂t' c² ∂t'² c² ∂x'² ∂x'∂t' ∂t'²

∂²φ γ² ∂²φ
γ²(1−β²)———— − ——(1−β²)———— = 0
∂x'² c² ∂t'²

∂²φ 1 ∂²φ
——— + —— ——— = 0
∂x² c² ∂t²