Abbiamo affermato che la metrica di Schwarzschild descrive lo spazio deformato da una massa in modo tale che a distanza
infinita da questa la descrizione va a rappresentare uno spazio di Minkowski. Avvicinandosi alla massa descrive invece uno
spazio che si incurva. Tale descrizione si arresta sulla superficie della massa generatrice del campo gravitazionale dove
cessa lo spazio vuoto.
Poniamo che la massa sia puntiforme. Questo ci permetterebbe di descrivere l'intero spazio ad eccezione dell'origine in quanto
occupata dalla massa.
Riprendendo la metrica di Schwarzschild abbiamo compreso come la curvatura dipende da due parametri, la distanza r dal centro del campo gravitazionale e il valore di massa M che lo genera.
ds2 = (1 - 2GM/rc2)c2dt2 − (1 - 2GM/rc2)−1dr2 − r2dψ2 − r2sin2ψdω2
Il termine GM/c2 è il prodotto di una massa per delle costanti. Adottando opportune unità di misura possiamo considerarlo come una massa 2m detta massa geometrica. Ricordando invece l'equazione di Einstein sull'energia di una massa a riposo E=mc2 possiamo scrivere 2GE andando a esprimere l'energia a riposo della massa generatrice del campo gravitazionale. Analizziamo la dimensione di GM/c2.
s3/mt2 m /(s2/t2) = s
Scopriamo che la massa geometrica e l'equivalente energia geometrica, esprimono una distanza, che nel nostro caso è una distanza radiale. Questa distanza prende il nome di raggio di Schwarzschild, RS.
RS = 2m = 2GM/c2
Osserviamo come il raggio dipenda, in modo proporzionale, solo da una variabile, la massa. Questa interdipendenza porta a una particolare espressione della forza di gravità superficiale di Schwarzschild k ossia la gravità della massa misurata a una distanza RS. Risulta infatti sufficiente la presenza della sola variabile del raggio di Schwarzschild. Partendo dalla generica espressione della gravità: g = GM/r2 applicata a una distanze RS abbiamo:
k = GM/RS2
k = GMc4/4GM2
k = c4/4GM
k = c2/2RS
Analizziamo come si comporta a soluzione di Schwarzschild nello spazio. Non essendoci una direzione privilegiata, studiamo la curvatura lungo una geodetica radiale avente fisse le coordinate angolari, da cui dψ,dω=0. Questo ci permette lavorare su una metrica più semplice.
ds2 = (1 − RS/r)c2dt2 − (1 − RS/r)−1dr2
g00 = 1 − RS/r
g11 = −(1 − RS/r)−1
A distanza infinita dalla massa generatrice del campo gravitazionale, abbiamo una metrica piana, di Minkowski.
r ⟶ ∞
g00 = 1 − RS/∞ ⟶ 1−
g11 = −(1 − RS/∞)−1 ⟶ −1−
Avvicinandosi alla massa andiamo a studiare lo spazio a distanze r che da ∞ si spostano verso RS.
Il valore espresso dal coefficiente della metrica si riduce da 1 verso zero. Data l'applicazione inversa del coefficiente
sul differenziale temporale rispetto a quello spaziale abbiamo che avvicinandosi alla massa il tempo misurato va a contrarsi,
mentre le distanze si dilatano. Si è qui dimostrato come il tempo e lo spazio sono distorti non solo in sistemi in moto
inerziale, ma anche in sistemi soggetti a un campo gravitazionale (se osservati da sistemi esterni non soggetti a tale campo).
Come il potenziale newtoniano anche la metrica di Schwarzschild misura lo spazio vuoto, esterno alla massa generatrice.
Nel caso di un pianeta o di una stella il loro raggio Rm è molto maggiore di quello di Schwarzschild RS.
Ipotizziamo che la massa generatrice collassi in una singolarità, in un punto dello spazio di raggio nullo che prendiamo come
origine di un sistema di coordinate polari. Tale presupposto permette di applicare la metrica a tutto lo spazio essendo questo
tutto vuoto ad eccezione dell'origine. Possiamo quindi studiare cosa accade quando ci si avvicina alla sfera di Schwarzschild.
r ⟶ RS
g00 = 1 − RS/RS ⟶ 0+
g11 = −(1 − RS/RS)−1 ⟶ −∞+
Approssimandosi a una distanza RS il tempo si arresta mentre lo spazio si dilata all'infinito. La realtà diviene difficilmente comprensibile. Proseguendo oltre andando verso la distanza zero otteniamo valori ancora più incomprensibili. Il componente temporale e spaziale si scambiano di ruolo. Il tempo diventa positivo, significa che diventa una dimensione spaziale. Il componente spaziale diviene temporale e da un valore infinito precipita fino a zero. Questo importa la problematica di una connessione non liscia in corrispondenza del confine della sfera di Schwarzschild tra lo spazio immediatamente esterno ad essa esterno che tende ad esse −∞, e quello immediatamente interno che ha componente metrico +∞.
Analizziamo come si comporta un cono di luce che si irradia da un punto posto nello spazio di Schwarzschild in presenza di una singolarità in RS. Dalla relatività ristretta sappiamo che per un intervallo di tipo luce vale la metrica (semplificando con c=1):
ds2 = dt2 − dr2 = 0
Questo implica che nel piano che descrive lo spazio di Minkowski, dove r è posto come ordinata e t come ascissa, la loro relazione è definita da due rette diagonali di inclinazione ±π/4 descriventi la traiettoria di un cono di luce.
dt/dr = ± 1
Da quanto fin qui ricavato ci aspettiamo che in uno spazio di Schwarzschild queste rette si curvino descrivendo il moto di un raggio di luce in uno spazio curvo.
ds2 = (1 − RS/r)dt2 − (1 − RS/r)−1dr2 = 0
((r − RS)/r)dt2 = ((r − RS)/r)−1dr2
dt2/dr2 = ((r − RS)/r)−2
dt/dr = ± r/(r − RS)
Questa equazione differenziale se integrata ci porta a ricostruire il percorso del raggio di luce nelle due direzioni, entrante nel campo gravitazionale e uscente da esso, definite dal segno alterno ±.
dt = ±(r/(r − RS))dr
t = ±⎰(r/(r − RS))dr
t = ±[r + RS ln|r − RS| + cost]
L'equazione positiva descrive le curve blu del grafico sottostante. Sono curve uscenti che nel tempo ci si allontanano da
RS. Quella negativa rappresenta le curve entranti, rosse nel grafico, che nel tempo si avvicinano a RS.
Esternamente alla sfera di raggio RS e molto lontani da essa le curve uscenti ed entranti tendono asintoticamente a rette angolate a ±45°. I loro incroci sono quindi ortogonali andando a descrivere i coni di luce classici di uno spazio piatto. Avvicinandosi al raggio di Schwarzschild le rette acquisiscono una curvatura sempre maggiore fino a tendere a orientarsi orizzontalmente. In questa trasformazione i coni di luce restringono la loro ampiezza. Mentre il tempo scorre sempre più lentamente il moto radiale si annulla. Un raggio di luce proveniente dall'infinito e in caduta nel campo potenziale non raggiungerà mai il confine della sfera di Schwarzschild. Il rallentare del tempo non permetterà il verificarsi dell'evento di attraversamento della sfera.
All'interno della sfera lo spaziotempo cambia forma. Come dimostrato tempo e spazio si scambiano i ruoli. Lo spazio
diventa negativo. In un campo potenziale le distanze radiali r sono poste nulle all'infinito e si incrementano avvicinandosi
alla massa. Così procede il tempo dentro la sfera di Schwarzschild sostituendosi al comportamento spaziale. Questo è fondamentale
perché dimostra come il tempo scorre verso l'interno, verso la singolarità.
Non potendo entrare nulla nella sfera di Schwarzschild non è previsto moto radiale in essa. Il tempo di contro precipita
verso la singolarità arrestandosi in essa. Non scorre più all'infinito. I coni di luce avvicinandosi alla singolarità si
riducono in ampiezza fino ad arrivare alla singolarità dove anche il moto non radiale diventa impossibile.
Lo spostamento inverso, dalla massa alla sfera non è possibile, impedito non dalla insufficiente velocità di fuga, ma
dall'inversione dello spaziotempo.
L'impossibilità anche per la luce di attraversare la sfera di Schwarzschild fa portato a definire questo come un confine
chiamato orizzonte degli eventi. Ciò che accade all'interno non è percepibile all'esterno. Nemmeno la luce può
uscirvi, cosa che ha portato alla denominazione della sfera di Schwarzschild come buco nero.
Questa è la percezione da un punto di osservazione esterno al campo gravitazionale come può esserlo un punto posto a distanza
infinita dalla massa.
Il moto radiale in un campo gravitazionale di un raggio di luce, ci ha lasciati perplessi. Pensare che il tempo si arresti
in prossimità dell'orizzonte degli eventi e la luce non lo attraversi non è accettabile se non come una distorsione dovuta
a un'osservazione fatta da un sistema di riferimento esterno al campo gravitazionale.
Ricerchiamo questa distorsione partendo dalle soluzioni dell'espressione di Eulero-Lagrange definita nella metrica di Schwarzschild.
Per semplicità consideriamo il moto radiale di una particella che in caduta libera nel campo gravitazionale ne segue le linee
di forza. Tale traiettoria prevede coordinate angolari invarianti. Questa condizione ci permette di escluderle dalle formule
delle geodetiche che rimangono espresse su t e r.
(1 − RS/r)(dt/ds) = cost
(1 − RS/r)(dt/ds)2 − (1 − RS/r)−1(dr/ds)2 = 1
Poniamo che l'osservazione della particella avvenga esternamente al campo gravitazionale, in un punto infinitamente
lontano dalla massa che lo genera. Calcoliamo in tale punto la geodetica della traiettoria che percorrerà una particella
che si approccia a una caduta libera, radiale, nel campo gravitazionale. Il valore differenziale che troveremo sarà poi
oggetto di integrazione su dr, da infinito a zero, al fine di ottenere la funzione della traiettoria.
Una particella in stato iniziale inerziale, posta a una distanza infinita dalla massa (r⟶∞) si trova in uno spazio
di Minkowski che è piatto. Consegue che la coordinata metrica temporale è unitaria: g00=(1 − 2m/∞)=1.
In tale punto e tempo t=0 la particella è solidale con l'osservatore. Il tempo proprio e coordinato coincidono.
(dt/dτ)=1. Dato che la particella è ferma ds=dτ e quindi anche dt/ds=1. Ne ricaviamo che:
(1 − RS/r)(dt/ds) = 1
Nella seconda espressione geodetica il termine unitario corrisponde all'energia potenziale della particella all'infinito nel campo gravitazionale. Eguagliamo questo valore con quello della soluzione temporale che poniamo al quadrato per avere pari grado delle coordinate. Questo è possibile in quanto in valore unitario della costante è stato calcolato proprio in un punto all'infinito nel campo gravitazionale.
(1 − RS/r)(dt/ds)2 − (1 − RS/r)−1(dr/ds)2 = (1 − RS/r)2(dt/ds)2
(1 − RS/r)(dt/ds)2 − (1 − RS/r)2(dt/ds)2 = (1 − RS/r)−1(dr/ds)2
(dt/ds)2 − (1 − RS/r)(dt/ds)2 = (1 − RS/r)−2(dr/ds)2
(dt/ds)2(1 − 1 + RS/r) = (1 − RS/r)−2(dr/ds)2
(dt/ds)2(RS/r) = (r/(1 − RS))2(dr/ds)2
(dt/dr)2 = (r/RS)(r/(1 − RS))2
dt/dr = ±(r/RS)1/2 r/(1 − RS)
Integriamo su r da meno infinito (in concordanza con il segno del campo potenziale) a zero.
t = ±⎰((r/RS)1/2(r/(1 − RS))dr
2 (r)1/2+(RS)1/2
t = − —————— (r3/2 − 3RS(r)1/2) + RSln( —————————————— ) + C
3(RS)1/2 |(r)1/2-(RS)1/2|
L'espressione qui trovata, seppure più complessa, corrisponde a quella ottenuta per un raggio di luce. I rispettivi grafici
si sovrappongono.
Osserviamo ora la particella da un sistema comovente con essa. Il tempo misurato in questo sistema è quello proprio τ.
Avendo posto c=1 abbiamo che dτ=ds. Ne consegue che la derivata temporale dτ/ds=dτ/dτ=1.
La soluzione della geodetica risulta notevolmente semplificata, portando all'uguaglianza dei fattori della soluzione temporale.
(1 − RS/r) = (dτ/dτ) = 1
Applicando la sostituzione nella geodetica in ds espressa in forma inversa.
(dr/dτ)/(dτ/dτ) = ±(RS/r)1/2 (1 − RS)/r
dr/dτ = ±(RS/r)1/2
Integriamo questa espressione da meno infinito a zero.
t = ±⎰((RS/r)1/2 (1 − RS)/r)dr
2r3/2
t = − ——————— + C
3(RS)1/2
Il grafico di funzione è una curva liscia decrescente senza discontinuità in corrispondenza di RS.
Se osservata da un sistema solidale alla particella, il moto di questa in caduta radiale nel campo gravitazionale appare
"normale". Il raggio di Schwarzschild viene attraversato e senza discontinuità. Oltre tale confine la traiettoria si mantiene
su una curva liscia che porta la particella a raggiunge a un dato tempo τ la teorizzata massa puntiforme.
