Metrica di Eddington-Finkelstein

Nella metrica di di Schwarzschild abbiamo visto come passando da un tempo coordinato a uno proprio viene meno la singolarità di origine geometrica in corrispondenza della sfera degli eventi. Possiamo ipotizzare che esistano altre coordinate temporali tali da eliminare la singolarità. Geometricamente possiamo pensare a una coordinata che raddrizzi le geodetiche, trasformandole in linee rette, non verticali, in modo che intersechino la retta ordinata di coordinata r=R_S.

Riprendiamo la funzione del tempo nel caso di un raggio di luce e definiamo una nuova coordinata spaziotemporale che includa la curvatura logaritmica, causa della singolarità in R_S. Partiamo dalla geodetica di un raggio di luce uscente descritto nella metrica di Schwarzschild.

t = ±(r + R_Sln|r − R_S| + cost)

L'argomento del logaritmo è spesso indicato anche come segue.

Di t abbiamo due espressioni, una negativa e una positiva (dato ±). Definiamo una nuova coordinata t' tale da annullare il termine logaritmico. Dato il doppio segno di t l'annullo del termine può avvenire sia negativamente che positivamente. Questo porta a dover identificare due coordinate.

t' = ±t + (R_Sln|(r/R_S − 1)|

t' = ±t − (R_Sln|(r/R_S − 1)|

La prima coordinata è detta avanzata. Cerchiamone la soluzione per i valori negativi di t sostituendo t con la funzione geodetica riportata a inizio paragrafo.

t' = −t + (R_Sln|(r/R_S − 1)|

t' = −r − R_Sln|(r/R_S − 1)| + (R_S ln|r − R_S|)

t' = −r

Se deriviamo troviamo una costante.

dt'/dr = −r/r

dt'/dr = − 1

Con t troviamo la funzione di una retta. Poniamo ora t positivo.

t' = +t + (R_Sln|(r/R_S − 1)|)

t' = r + R_Sln|(r/R_S − 1)| + (R_S ln|r − R_S|)

t' = r + 2R_Sln|(r/R_S − 1)|

Calcoliamo la derivata.

dt'/dr = d(r + 2R_Sln|(r/R_S − 1)|)/dr

dt'/dr = (r + R_S)/(r − R_S)

In questo caso la funzione è iperbolica.

Riassumendo le due espressioni in un piano spaziotemporale ci troviamo con curve uscenti e rette entranti. I coni luce delimitati da queste permettono di entrare nella sfera delimitata dall'orizzonte degli eventi. Questo moto è però unidirezionale. Dall'interno della sfera non esistono coni di luce che permettano di uscirne. Questa descrizione si rivela più compatibile con la fisica osservata e teorizzata.

La coordinata temporale con l'elemento logaritmico sottratto è detta ritardata.

t' = ±t − (R_Sln|(r/R_S − 1)|

Questo porta alle stesse soluzioni, ma scambiate.

t' = −r − R_Sln|(r/R_S − 1)| − (R_S ln|r − R_S|)

t' = r + 2R_Sln|(r/R_S − 1)|

t' = r + − (R_S ln|r − R_S|)

t' = r

Dal grafico vediamo un diverso orientamento dei doni di luce. La luce non può entrare nella sfera di Schwarzschild, ma sorprendentemente ciò che vi è contenuto può solo uscirne. Quanto qui teorizzato prende il nome di buco bianco.
Cerchiamo di scrivere la metrica di queste nuove coordinate partendo da quella di Schwarzschild. Si ponga sempre c=1 e si consideri un moto esclusivamente radiale, con dψ,dω=0. Dobbiamo considerare che la coordinata temporale è ora una somma di t con r. Nominiamola v.

v = t' + r

v = t + (R_Sln|(r/R_S − 1)|) ± r

v = t + r*

Abbiamo trasferito il termine logaritmico da t' a r. Questo semplifica i calcoli che seguono. La coordinata r* è chiamata coordinata della tartaruga. Ad essa è dovuto l'avvicinamento asintotico a R_S in un modo similare a quanto accade nel paradosso di Zenone.

Prima di proseguire troviamo il differenziale di dr* calcolato su dr.

dr*/dr = (r + R_S ln|r − R_S|)/dr dr*/dr = 1 − (R_S/(r - R_S)

dr* = (r/(r - R_S))dr

dr* = ((r - R_S)/r)⁻¹dr

dr* = α⁻¹dr

Nell'espressione del differenziale abbiamo semplifichiamo la notazione con α=(1 − R_S/r).

Sviluppiamo la metrica di Schwarzschild sulla nuova coordinata temporale v=t+r*.

ds² = αdt² − α⁻¹dr²

ds² = α(dv − dr*)² − α⁻¹α²dr*² − α⁻¹dr²

ds² = α(dv² + dr*² − 2dvdr*) − α⁻¹dr²

ds² = αdv² + αdr*² − 2dvαdr* − α⁻¹dr²

ds² = αdv² + α⁻¹dr² − 2dvdr − α⁻¹dr²

ds² = αdv² − 2dvdr

Data la relazione dr² = α²dr*² in modo equivalente abbiamo:

ds² = αdt² − α⁻¹dr²

ds² = αdt² − α⁻¹α²dr*²

ds² = αdt² − αr*²

La metrica speculare, con u=t−r* risulta invece essere:

ds² = αdu² + 2dudr

ds² = αdt² + αr*²