Metrica di Kruskal-Szekeres

La metrica di Eddington-Finkelstein ha dimostrato come la singolarità osservata in R_S sia eliminabile attraverso un cambio di coordinate. La soluzione trovata è però parziale risolvendola solo in una direzione. Cerchiamo di trovare se esiste una coordinata che raddrizzi le geodetiche in entrambe le direzioni.

Consideriamo le due metriche di Eddington-Finkelstein espresse nelle coordinate (t,r*):

ds² = (1 − R_S/r)(dt² − r*²)

ds² = (1 − R_S/r)(dt² + r*²)

Le due equazioni non sono in grado di eliminare la singolarità geometrica creata dal fattore metrico (1 − R_S/r) in quanto non si ha continuità tra la derivata destra e sinistra in R_S. Noi ricerchiamo una espressione che renda una geodetica luce rettilinea in entrambe le direzioni, da r infinito a zero e viceversa e tale che attraversi l'orizzonte degli eventi.

Iniziamo la nostra analisi pensando al fattore (dt² − r*²) come a un prodotto (dt − dr*)(dt + dr*). In un piano (t,r*) rappresenta due rette diagonali che si intersecano all'origine. Possiamo quindi utilizzare due dimensioni che rappresentano i due fattori:

u = t − r*

v = t + r*

Utilizzandole ci permette di avere un'unica formula per la metrica.

ds² = (1 − R_S/r)dudv

Rimane un problema nel coefficiente metrico (1 − R_S/r). Esso crea una discontinuità in r=R_S/r da eliminare.

Riprendiamo la geodetica di Schwarzschild e osserviamo come il suo comportamento asintotico alla retta R_S dipende da un operatore logaritmico.

t = ±[r + R_S ln|r/R_S − 1|]

Le nuove coordinate ne ereditano questo carattere,

u = t − [r + R_S ln|r/R_S − 1|

v = t + [r + R_S ln|r/R_S − 1|

Per eliminare in valore infinito in R_S dovuto al logaritmo utilizziamo delle nuove variabili che inglobano l'operatore inverso, la funzione esponenziale. Ricordiamo come una funzione logaritmica sia stata ipotizzata nella soluzione della metrica di Schwarzschild. Ponendo la stessa funzione sulle variabili significa dare loro lo stesso andamento della metrica.

Affiniamo la definizione delle nuove variabili osservando come in u e v il logaritmo ha segni opposti. Manteniamo la divergenza di segno negli esponenti. Considerando che nello spazio tempo abbiamo discordanza di segno tra variabile temporale e spaziale poniamo anche un segno opposto alle nuove variabili, mantenendo così l'approssimazione a uno spazio di Minkowski nel limite di ds⟶0 o in assenza di curvatura.

U = −e^−λu

V = e^λv

Per attuare la sostituzione delle coordinate nella metrica troviamo la relazione dU/du.

dU/du = −(−λ)e^−λu

dU/du = −λU

du = −dU/λU

Ora cerchiamo dV/dv.

dV/dv = λe^λu

dV/dv = λV

dv = dV/λV

Nella metrica abbiamo il prodotto dudv. Calcoliamolo nelle nuove coordinate.

dudv = −dUdV/λ²UV

UV = −e^−λue^λv = −e^λ(v−u)

dudv = dUdV/λ²e^λ(v−u)

La differenza v−u presente all'esponente può essere semplificata.

v − u = (t + r*) − (t − r*) = 2r*

La metrica alla luce di queste riformulazioni diventa:

ds² = (1 − R_S/r)dUdV/λ²e^λ2r*

Data l'espressione di r*=r + R_S ln|r/R_S − 1| il fattore esponenziale può essere riscritto.

e^λ2r*

e^{λ2(r + R_S ln|r/R_S − 1|)}

e^λ2re^{λ2R_S ln|r/R_S − 1|)}

e^λ2r(r/R_S − 1)^λ2R_S

Vedremo che l'eliminazione della singolarità in r/R_S è possibile se poniamo λ=1/2R_S. Osserviamo come questa espressione non è casuale, ma coincide per c=1 (come abbiamo posto) alla gravità superficiale di Schwarzschild k che è il valore assunto in R_S, il confine dove si manifesta la singolarità geometrica che vogliamo eliminare.

k = c²/2R_S

λ = 1/2R_S

Sostituiamo questo valore nella funzione metrica:

ds² = (1 − R_S/r)(dUdV 4R_S²/(e^2r/2R_S(r/R_S − 1)^2R_S/2R_S)

ds² = 4R_S²(1 − R_S/r)(r/R_S − 1)⁻¹e^−r/R_S dUdV

Lavoriamo sul prodotto al centro dell'espressione.

(1 − R_S/r)(r/R_S − 1)⁻¹

((r − R_S)/r)((r − R_S)/R_S)⁻¹

((r − R_S)/r)(R_S/(r − R_S))

R_S/r

Riportiamo questo valore nella metrica.

ds² = (4R_S²R_S/r)e^−r/R_S dUdV

ds² = (4R_S³/r)e^−r/R_S dUdV

Questa è l'espressione finale della metrica di Kruskal. Avendo trovato che λ=1/2R_S abbiamo anche l'espressione del differenziale delle variabili U,V:

U = −e^−λu = −e^−u/2R_S

V = e^λv = e^v/2R_S

UV = −e^{(v − u)/2R_S}

Per quanto riguarda i differenziali abbiamo:

dU = −duU/2R_S

dU = (1/2R_S)e^−u/2R_S du

dV = dvV/2R_S

dV = (1/2R_S)e^v/2R_S dv

dUdV = (1/2R_S)e^−u/2R_S du(1/2R_S)e^v/2R_S dv

dUdV = (1/2R_S)e^−u/2R_S du(1/2R_S)e^v/2R_S dv

Possiamo esprimere la metrica anche in forma di Minkowski ponendo U=T−X e V=T+X da cui:

UV = (T−X)(T+X)

UV = T² − X²

−UV = X² − T²

Otteniamo la metrica di Kruskal sulle nuove coordinate.

ds² = (4R_S³/r)e^−r/R_S (dT² − dX²)

ds² = −(4R_S³/r)e^−r/R_S (dX² − dT²)

Troviamo ora una formulazione per le coordinate T e X.

T = (V + U)/2

X = (V − U)/2

Per le definizione di −U=−e^−λu e V=e^λv diventano:

T = (1/2)(e^v/2R_S − e^−u/2R_S) = (1/2)(e^(t+r*)/2R_S − e^{−(t−r*)/2R_S}) =

(1/2)e^r*/2R_S(e^t/2R_S − e^−t/2R_S)

X = (1/2)(e^v/2R_S + e^−u/2R_S) = (1/2)(e^(t+r*)/2R_S + e^{−(t−r*)/2R_S}) =

(1/2)e^r*/2R_S(e^t/2R_S + e^−t/2R_S)

Dalla definizione del seno e del coseno iperbolici: sinh(x)=(e^x−e^−x)/2 e cosh(x)=(e^x+e^−x)/2 otteniamo dalle due espressioni:

T = e^r*/2R_S sinh(t/2R_S)

X = e^r*/2R_S cosh(t/2R_S)

Sostituiamo la definizione di r*=r+R_Sln|r/R_S − 1|

T = e^r/2R_S e^{(R_Sln|r/R_S − 1|)/2R_S} sinh(t/2R_S)

T = (r/R_S − 1)^1/2 e^r/2R_S sinh(t/2R_S)

X = e^r/2R_S e^{(R_Sln|r/R_S − 1|)/2R_S} cosh(t/2R_S)

X = (r/R_S − 1)^1/2 e^r/2R_S cosh(t/2R_S)

Abbiamo qui trovato le trasformazioni di Kruskal per r>R_S. Ricerchiamo ora una funzione che leghi le due coordinate sapendo che cosh²(x)−sinh²(x)=1.

T² = (r/R_S − 1)e^r/R_S sinh(t/2R_S)

X² = (r/R_S − 1)e^r/R_S cosh(t/2R_S)

X² − T² = (r/R_S − 1)e^r/R_S(cosh²(t/2R_S) − sinh²(t/2R_S))

X² − T² = (r/R_S − 1)e^r/R_S

L'identità qui trovata è fondamentale nella comprensione della metrica di Kruskal. Per r>R_S si ha X²−T²>0 e X²>T². Se invece ci portiamo all'interno dell'orizzonte degli eventi dove r<R_S, X²−T²<0 e X²<T² otteniamo T²−X²>0. Entrambe le espressioni sono valide se scambiamo le funzioni che le definiscono. Spazio e tempo si scambiano i ruoli proprio come osservato nella metrica di Schwarzschild. Scriviamo quindi.

T = (r/R_S − 1)^1/2 e^r/2R_S cosh(t/2R_S)

X = (r/R_S − 1)^1/2 e^r/2R_S sinh(t/2R_S)

X² − T² = (r/R_S − 1)e^r/R_S(sinh²(t/2R_S) − cosh²(t/2R_S))

In questa forma non possiamo semplificare seno e coseno iperbolico. Se vogliamo che l'espressione abbia un comportamento analogo a quanto accade fuori dall'orizzonte degli eventi dobbiamo invertire i loro segni. Quindi dobbiamo invertire il segno delle espressioni di T e X.

T = −(r/R_S − 1)^1/2 e^r/2R_S cosh(t/2R_S)

T = (1 − r/R_S)^1/2 e^r/2R_S cosh(t/2R_S)

X = −(r/R_S − 1)^1/2 e^r/2R_S sinh(t/2R_S)

X = (1 − r/R_S)^1/2 e^r/2R_S sinh(t/2R_S)

Abbiamo qui le trasformazioni di Kruskal per r<R_S. Utilizzando queste trasformazioni andiamo a trovare la stessa formula per la differenza del quadrato delle coordinate X,T.

X² − T² = (1 − r/R_S)e^r/R_S(sinh²(t/2R_S) − cosh²(t/2R_S))

X² − T² = −(1 − r/R_S)e^r/R_S(−sinh²(t/2R_S) + cosh²(t/2R_S))

X² − T² = (r/R_S − 1)e^r/R_S

Questo accorgimento ci permette di conservare un'unica formula per tutto lo spazio, sia all'esterno che all'interno dell'orizzonte degli eventi.

Diagramma di Kruskal

Diamo un significato alla soluzione di Kruskal attraverso una rappresentazione su un piano cartesiano spaziotemporale T,X. Lo spazio attorno a una massa è qui rappresentato come unidimensionale.

Partiamo dall'identità:

X² − T² = (r/R_S − 1)e^r/R_S

La variabile esplicita r è valorizzabile nell'intervallo [0,∞). Per valori esterni alla sfera di Schwarzschild si verificano le seguenti condizioni:

R_S < r < ∞

0 < (X² − T²) < ∞

Quest'ultima espressione per ogni valore dato a r disegna nel diagramma una coppia di iperboli equilatere, che si estendono verticalmente, tra loro speculari rispetto all'asse T. Con r⟶R_S le due iperboli si fanno sempre più vicine all'origine degli assi, seguendo l'asse X. Quest'ultima può quindi essere considerata al pari di una coordinata potenziale che si riduce al ridursi dell'altezza r nel campo gravitazionale. Tutte le iperboli in ciascun lato del diagramma sono racchiuse tra due semirette ortogonali comuni. Queste semirette fungono da asintoti superiori e inferiori delle curve e sono bisettrici dei quadranti del diagramma, avente coefficiente angolare ± 1.

Fissato r e lasciata libera t le iperboli rappresentano in tutti i tempi possibili un evento posto a una distanza fissa dall'orizzonte degli eventi. Ciascuna curva indica il solo moto temporale di un evento, fisso nello spazio (avendo posto lo spazio unidimensionale l'unico moto possible è quello radiale, il moto orbitale non è possibile).

In corrispondenza dell'orizzonte degli eventi si verificano le condizioni:

R_S = r

X² − T² = 0

X/T ± 1

La coppia di iperboli si trasforma andando in sovrapposizione con le rispettive semirette asintotiche.

Passiamo all'interno della sfera di Schwarzschild dove:

0 < r < R_S

−1 < (X² − T²) < 0

Abbiamo sempre una coppia di iperboli, ma per via dello scambio di coordinate, ora sviluppate orizzontalmente e tra loro speculari rispetto all'asse X. Con r=R_S le iperboli sono sovrapposte orizzontalmente alle bisettrici. Al tendere di r⟶0 la coppia si allontana dall'origine in direzioni opposte, ma ora seguendo la direzione dell'asse T. L'allontanamento non è infinito, arrestandosi in corrispondenza di r=0 sulla singolarità. rappresentata dalla massa puntiforme. Oltre il diagramma cessa la sua rappresentazione dello spaziotempo non esistendo, nel modello descrittivo dello spaziotempo intorno a una massa, una distanza da essa inferiore a zero.

L'inversione delle coordinate porta come conseguenza a un cambio di significato delle iperboli. Ora rappresentano, ciascuna tutto lo spazio in un dato tempo. Da quanto sopra dobbiamo dedurre che il tempo si arresta sulla singolarità della massa che si estende spazialmente all'infinito.
Seconda deduzione, il tempo punta verso la singolarità. All'interno dell'orizzonte degli eventi il moto è possibile solo verso la singolarità. Tentare di uscirne significherebbe andare indietro nel tempo. Si conferma qui il concetto d buco nero per le iperboli superiori del diagramma.
Fissiamo ora la variabile t. La condizione porta ad avere dagli operatori trigonometrici un valore costante . Nel settore con R_S <r < ∞ abbiamo per ogni t dato una rappresentazione dello spazio statico preso in un dato istante.

T = (1 − r/R_S)e^r/R_S k

X = (1 − r/R_S)e^r/R_S h

T/X = tanh(t/2R_S)

Essendo i termini non trigonometrici uguali in entrambe le espressioni abbiamo un rapporto T/X=k/h che si mantiene costante al variare di r. Il rapporto rappresenta il coefficiente angolare, che se costante porta a definire una retta. In assenza di termini costanti aggiuntivi garantisce che le rette passino tutte per l'origine. L'andamento del coefficiente angolare data l'equivalenza con tanh, lo porta a mantenersi nell'intervallo (−1,+1) con t tra (−∞,+∞). Tali valori estremi coincidono con l'angolazione delle rette bisettrici.

Passando a 0<r<R_S abbiamo l'inversione delle coordinate e quindi della relazione che diventa T/X=h/k. Con t che per continuità rotazionale (essendo argomento della funzione trigonometrica tanh) passa ora da +∞ a −∞, le rette proseguono la rotazione passando da un coefficiente angolare +1 a uno −1.

In questo settore le semirette indicano ciascuna una posizione dello spazio che dall'orizzonte degli eventi conduce, seguendo la freccia del tempo, alla singolarità.

Le iperboli e le rette temporali che descrivono la metrica di Kruskal si estendono su tutti i quadranti del piano spaziotemporale. Restringiamo il campo di osservazione ai settori reali. Delle due serie di iperboli verticali speculari rispetto all'asse T prendiamone in considerazione solo una, quella posta sul lato positivo delle ascisse X, dando per inesistente lo spazio opposto, negativo. Considerando invece la direzione temporale e ponendo l'osservazione iniziata al tempo t=0 dobbiamo considerare solo T positivo.

Osserviamo in questi settori il moto di un raggio di luce.

ds² = −(4R_S³/r)e^−r/R_S (dX² − dT²) = 0

(dX² − dT²) = 0

Per un moto di tipo luce si ha sempre l'uguaglianza a zero della distanza metrica, indipendentemente dal valore del parametro metrico. Consegue che è sempre verificata la relazione dX/dT=±1. I coni luce sono quindi archi sottesi tra due rette ortogonali inclinate a 45°. Si osservi come dX/dT sia una velocità (coordinata spaziale / coordinata temporale) e come il valore ±1 corrisponda a c² avendo posto c=1. Il modello risulta consistente con il valore posto alla velocità della luce dalla relatività ristretta.

Poniamoci in un punto P posto su una iperbole definita da una data distanza r>R_S e su una retta temporale. In tale punto due rette di inclinazione ±1 delimitano il cono di luce futuro (superiore) e passato (inferiore). Il cono futuro permette sia moti diretti verso l'orizzonte degli eventi che moti che si mantengono esterni ad esso. Si osservi che la retta con inclinazione −1 rappresenta la traiettoria di massimo avvicinamento alla sfera di Schwarzschild, mentre la retta con coefficiente angolare +1 indica il massimo allontanamento nello spaziotempo.

Il moto rettilineo prosegue anche oltre l'orizzonte degli eventi. Nel buco nero però il cono luce futuro permette solo moti diretti verso la singolarità della massa confermando la sua natura di spazio che non permette l'uscita da esso.

Se volessimo forzare l'interpretazione del diagramma il settore inferiore può essere interpretato come un buco bianco, dove le linee del tempo puntano all'esterno. Da qui si può solo uscire. Si potrebbe anche in considerazione l'esistenza dello spazio specchio a sinistra del diagramma. Questo spazio sarebbe identico al nostro. Il modello mantiene i due spazi distinti. Non è possibile passare da uno all'altro.