La meccanica descritta da Newton costruita sulle solide fondamenta della relatività di Galileo descrisse in modo
perfetto la realtà fisica fino all'avvento dell'elettromagnetismo.
La scoperta sperimentale che elettricità e magnetismo sono correlate ha indotto a definire un quadro teorico-matematico
che ne descrive la relazione.
Sperimentalmente si è osservato che il moto di una carica elettrica genera il magnetismo. Se una carica non si muove
troppo velocemente possiamo, senza errore significativo, misurare il campo elettrico da essa generato con la formula
del campo elettrostatico.
1 q
E = ——— ——— u
4πε r2
Per quanti riguarda il magnetismo, è definito da una formula di campo simile.
μ qv × u
B = ——— ———————
4π r2
Nelle due equazioni la variabile q rappresenta la carica della particella generatrice del campo elettrico e se in movimento anche del campo magnetico. Dati questi presupposti la carica q è la stessa per entrambe le formule. Possiamo lecitamente estrarne il valore dalla prima e inserirlo nella seconda.
E 4πε r2
q = —————————
u
μ E 4πε r2
v × u
B = ——— ———————————————
4π u
r2
B = με(E × v)
L'equazione rappresenta la forza di un campo magnetico B generata da un campo elettrico E che si muove a velocità v. I due campi sono equiparati tramite la costante dielettrica (resistenza del mezzo alla propagazione del campo elettrico) e di permeabilità magnetica (resistenza del mezzo alla propagazione del campo magnetico).
C2
ε = ————
Nm2
N
μ = ———
A2
C2N
C2s2 1
εμ = ————— = ————— = ——
Nm2A2
m2C2 v2
Il prodotto delle due costanti produce un fattore che contiene la velocità di propagazione nel mezzo materiale del campo elettromagnetico prodotto dalla carica q.
1
v = —————
(εμ)1/2
Naturalmente la velocità di propagazione varia a seconda del materiale. I coefficienti assumono un valore differente per ogni mezzo. Per calcolare la velocità di propagazione propria del campo, libera da resistenze applichiamo alle costanti in valore da esse assunto nel vuoto.
1
c = ————————————————————— = 299∙106m/s
(8.85∙10-124π∙10-7)1/2
La propagazione di un campo elettromagnetico nel vuoto corrisponde al moto di un raggio di luce nel vuoto. La sua velocità risulta essere costante in un dato mezzo. Non è influenzata né dalla quantità di carica, né dalla velocità di moto (sia per modulo che per direzione) di questa. Questa evidenza entra in conflitto con il principio di relatività di Galileo e la sua legge di composizione delle velocità.
Per salvare le trasformazioni di Galileo e quindi l'impianto della relatività classica si pose la tesi che la
velocità c della luce è si invariante, ma solo nel sistema inerziale dello spazio vuoto chiamato etere.
Come il suono, le vibrazioni, le onde di pressione si propagano solo all'interno di un mezzo, non è azzardato penare
che anche per le onde elettromagnetiche la trasmissione nel vuoto sia possibile solo considerando questo al pari
di un mezzo rigido. L'etere assume il ruolo di sistema di riferimento solidale con la propagazione della luce.
In ogni riferimento in moto rispetto all'etere la velocità della luce verrebbe percepita secondo la regola della
composizione delle velocità.
Sfruttando il moto della Terra lungo la sua orbita, che su scale temporali di nanosecondi può essere approssimato
a rettilineo uniforme, i due scienziati impostarono il seguente esperimento.
Si pone la velocità del sistema Terra rispetto all’etere pari a v. Da una sorgente (ovviamente solidale alla
Terra) viene emesso un raggio monocromatico o laser a favore della direttrice del moto della Terra.
Il raggio passa per uno specchio semitrasparente T inclinato di 45°. Questo divide il raggio in due fasci distinti.
Una parte del raggio prosegue il moto rettilineo verso un secondo specchio S che la riflette indietro. Ritornato sullo
specchio T il raggio viene riflesso di 45° verso l’interferometro.
La seconda parte del raggio di 45° da T viaggia verso lo specchio R che la riflette indietro verso l’interferometro.
I due raggi seguono percorsi diversi: il primo raggio segue il percorso: L1+L2+(-L2)+L4, il secondo il percorso:
L1+L3+(-L3)+L4. I due percorsi differiscono per i tratti L2 ≠ L3. Possiamo quindi escludere dall’analisi i tratti
comuni L1, L4 in quanto daranno il medesimo apporto in entrambi i percorsi al tempo totale di percorrenza.
Consideriamo il movimento del raggio nel tratto L2 da T ad S. Il piano sperimentale si muove rispetto all'etere nello stesso verso di propagazione del raggio di luce laser. Per la legge di composizione delle velocità la luce appare muoversi più lentamente c'=c-v. Il contrario avviene dopo la riflessione in S, c'=c+v. Il tempo totale di percorrenza nei due sensi del tratto L2 è dato dalla seguente formula:
L2
L2 2L2c
2t = ————— + ————— = ——————
c - v c + v
c2 - v2
Un movimento che poniamo verticale, rettilineo e ortogonale alla direzione di moto (orizzontale) di un sistema di
riferimento esterno, viene visto da questo come un moto diagonale, somma vettoriale del moto verticale del corpo e
di quello orizzontale del sistema.
Data questa osservazione il raggio di luce dell'esperimento visto dalla Terra non percorre L3, ma L3' = (L3+vt). Il
termine vt esprime la distanza percorsa dalla Terra nel tempo t. Ricordiamo che la somma vettoriale è equivalente
al teorema di Pitagora. Nel tratto di ritorno, dopo la riflessione, il raggio è percepito sempre in moto diagonale.
Considerando il solo modulo possiamo considerare i due moti in realtà speculari come identici.
2c2t2 = 2L3 + 2v2t2
2L3
2t = ———————————
(c2 - v2)1/2
La differenza temporale nella percorrenza dei due tratti comporta uno sfasamento che genera delle frange di interferenza tra i due raggi:
2L2c
2L3
Δt = ——————— — ——————————
c2 - v2
(c2 - v2)1/2
Ripetiamo l'esperimento ruotando l’apparato di 90° (o riproponendo l’esperimento dopo 3 mesi, quando la Terra si troverà ad avere una direzione di moto rispetto all’etere variata di 90°) l’incidenza del moto terrestre si invertirà nei due tratti.
2L2c
2L3
Δt = ——————————— — ————————
(c2 - v2)1/2
c2 - v2
Confrontando i due risultati aritmetici riscontriamo una differenza che è da interpretare come una variazione nelle frange di interferenza tra il primo e il secondo esperimento.
L2c
L3 L2
L3c
——————— — ——————————— ≠ ——————————— — ———————
c2 - v2
(c2 - v2)1/2
(c2 - v2)1/2
c2 - v2
Questa differenza non compare a livello sperimentale. L'interferenza non cambia ruotando l'esperimento. Dobbiamo quindi concludere che non esiste un etere, un mezzo rigido che permette il trasporto della luce. A livello matematico significa porre c costante la condizione di uguaglianza tra le due formule. Osserviamo come gli elementi della equazioni sono tutti delle costanti a parte v. Lorentz propose come soluzione di riscrivere gli addendi nella forma seguente:
Lc
Lc
L
——————— = ———————————— = — γ2
c2 - v2
c2(1 - v2/c2) c
L
L
L
——————————— = —————————————— = — γ
(c2 - v2)1/2
c(1 - v2/c2)1/2 c
Abbiamo introdotto il fattore di Lorentz che ci permette di semplificare le formulazioni.
1
γ = —————————————
(1 - v2/c2)1/2
Ponendo v=0 otteniamo che γ = 1. Questa condizione garantisce l'uguaglianza cercata che ci da una formulazione congruente con l'esperimento.
L2
L3 L2
L3
——— γ2 — ——— γ ≠ ——— γ — ——— γ2
c c
c c
L'esperimento impone l'uguaglianza dei termini anche con v≠0. Ponendo l'uguaglianza dei due tratti, L2=L3 si comprende come il fattore di Lorentz assume il carattere di elemento di conversione tra i tempi rilevati nelle due configurazioni.
L L
——— γ2 = ——— γ
c c
Δt1 γ2
——— = ——— = γ
Δt2 γ
Δt1 = γΔt2
Un secondo tentativo di salvare la legge di composizione della velocità e quindi le regole di trasformazione di Galileo
postulerebbe che i fenomeni meccanici e quelli elettromagnetici poggino su leggi diverse, esclusive di ciascun ambito.
Una netta distinzione tra meccanica ed elettromagnetismo non è però fattibile (vedi moto degli elettroni). Deve quindi
esistere una legge comune che valga per entrambi i contesti.
Spetterà a Lorentz riformulare le leggi di trasformazione di coordinate tra sistemi inerziali.
